問題は4つあります。ここでは、問題(2)と(3)を解きます。 (2) $\frac{3}{2\cdot 5} + \frac{3}{5\cdot 8} + \frac{3}{8\cdot 11} + \dots + \frac{3}{(3n-1)(3n+2)}$ の和を求めます。 (3) $\sum_{n=1}^{98} \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}$ の和を求めます。

1. 問題の内容

問題は4つあります。ここでは、問題(2)と(3)を解きます。

(2) $\frac{3}{2\cdot 5} + \frac{3}{5\cdot 8} + \frac{3}{8\cdot 11} + \dots + \frac{3}{(3n-1)(3n+2)}$ の和を求めます。

(3) $\sum_{n=1}^{98} \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}$ の和を求めます。

2. 解き方の手順

(2)

部分分数分解を利用します。

$\frac{3}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{A}{3n-1} + \frac{B}{3n+2}$ とおくと、

$3 = A(3n+2) + B(3n-1)$

$3 = (3A+3B)n + (2A-B)$

したがって、$3A+3B = 0$ かつ $2A-B = 3$ です。

$A = -B$ より、$2A - (-A) = 3$ なので、$3A = 3$ 、$A = 1$ 、$B = -1$ となります。

よって、$\frac{3}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}$ となります。

したがって、

$\sum_{n=1}^{n} \frac{3}{(3n-1)(3n+2)} = \sum_{n=1}^{n} (\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2})$

$= (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{11}) + \dots + (\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2})$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2}$

$= \frac{3n+2 - 2}{2(3n+2)}$

$= \frac{3n}{2(3n+2)}$

(3)

分母の有理化を行います。

$\frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+2} + \sqrt{n})(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{(n+2) - n} = \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{2}$

したがって、

$\sum_{n=1}^{98} \frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{98} \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{98} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n})$

$= \frac{1}{2} [(\sqrt{3} - \sqrt{1}) + (\sqrt{4} - \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{100} - \sqrt{98})]$

$= \frac{1}{2} [-\sqrt{1} - \sqrt{2} + \sqrt{99} + \sqrt{100}]$

$= \frac{1}{2} [-1 - \sqrt{2} + 10 + 3\sqrt{11}]$

$= \frac{1}{2} [9 - \sqrt{2} + 3\sqrt{11}]$

3. 最終的な答え

(2) $\frac{3n}{2(3n+2)}$

(3) $\frac{9 - \sqrt{2} + 3\sqrt{11}}{2}$