5個の数字0, 1, 2, 3, 4を使ってできる3桁の整数のうち、以下の条件を満たすものはそれぞれ何個あるか。ただし、同じ数字は1回しか使ってはいけない。 (1) 奇数 (2) 9の倍数

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4を使ってできる3桁の整数のうち、以下の条件を満たすものはそれぞれ何個あるか。ただし、同じ数字は1回しか使ってはいけない。

(1) 奇数

(2) 9の倍数

2. 解き方の手順

(1) 奇数の場合

3桁の整数が奇数になるのは、一の位が1または3のときである。

(i) 一の位が1または3の場合：

一の位の選び方は2通り。百の位は0を除く4通り、十の位は残りの3通り。よって、

$4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り。

(ii) 一の位がなしの場合：

存在しない。

したがって、奇数の個数は24個。

(2) 9の倍数の場合

3桁の整数が9の倍数になるのは、各位の数の和が9の倍数になるときである。

0, 1, 2, 3, 4の中から3つの数字を選んで和が9になる組み合わせは、

(i) 0 + 4 + 5 (5はない)

(ii) 1 + 3 + 5 (5はない)

(iii) 2 + 3 + 4 = 9

(iv) 0 + 1 + x , x=8(8はない)

(v) 0 + 2 + x , x=7(7はない)

(vi) 0 + 3 + x , x=6(6はない)

(vii) 0 + 4 + x , x=5(5はない)

(viii)1 + 2 + x , x=6(6はない)

(ix) 1 + 4 + x , x=4(4はない)

(x) 0, 1, x, x=8 ない

(xi) 0, 2, x, x=7 ない

(xii) 0, 3, x, x=6 ない

(xiii) 0, 4, x, x=5 ない

(xiv) 1, 2, 3, 6 (6はない)

(xv) 1, 2, 4, ない

(xvi)1, 3, 4, 1+3+4=8

(xvii) 2, 3, 4 = 9

2, 3, 4のとき、作れる3桁の整数は、

234, 243, 324, 342, 423, 432の6個。

(i) 0+1+8 (8はない)

(ii) 1+2+6 (6はない)

(iii) 1+3+5 (5はない)

(iv) 2+3+4 (9)

3桁の数字の和が9になる組み合わせは(2,3,4)のみ。

この3つの数字を使って作れる3桁の整数は、

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 奇数：24個

(2) 9の倍数：6個