実数 $x$ に対し、$n \le x < n+1$ を満たす整数 $n$ を $[x]$ で表す。 (1) 関数 $y = x[x]$ ($0 \le x < 3$) のグラフを描く。 (2) $a$ を正の定数とする。曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と (1) のグラフが異なる2つの共有点を持つような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対し、$n \le x < n+1$ を満たす整数 $n$ を $[x]$ で表す。

(1) 関数 $y = x[x]$ ($0 \le x < 3$) のグラフを描く。

(2) $a$ を正の定数とする。曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と (1) のグラフが異なる2つの共有点を持つような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = x[x]$ ($0 \le x < 3$) のグラフをかく。

$0 \le x < 1$ のとき $[x] = 0$ なので $y = x \cdot 0 = 0$。

$1 \le x < 2$ のとき $[x] = 1$ なので $y = x \cdot 1 = x$。

$2 \le x < 3$ のとき $[x] = 2$ なので $y = x \cdot 2 = 2x$。

したがって、グラフは以下のようになる。

- $0 \le x < 1$ で $y = 0$

- $1 \le x < 2$ で $y = x$

- $2 \le x < 3$ で $y = 2x$

(2) $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と $y = x[x]$ のグラフが異なる2つの共有点を持つための $a$ の範囲を求める。

$0 \le x < 1$ では $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と $y = 0$ の交点を考える。

$ax^2 + \frac{5}{2} = 0$ より $x^2 = -\frac{5}{2a}$。$a > 0$ より、$x^2 = -\frac{5}{2a} < 0$ となり、この範囲では交点を持たない。

$1 \le x < 2$ では $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と $y = x$ の交点を考える。

$ax^2 + \frac{5}{2} = x$ より $ax^2 - x + \frac{5}{2} = 0$。

この2次方程式が $1 \le x < 2$ の範囲に解を一つ持てばよい。

$f(x) = ax^2 - x + \frac{5}{2}$ とすると、

$f(1)f(2) < 0$ または $f(1) = 0$ または $f(2) = 0$の場合を考えます。

$f(1) = a - 1 + \frac{5}{2} = a + \frac{3}{2}$

$f(2) = 4a - 2 + \frac{5}{2} = 4a + \frac{1}{2}$

$f(1) > 0$ かつ $f(2) > 0$ であるから、$f(1)f(2)>0$ となり、$f(1)f(2)<0$は起こらない。

$y = ax^2 + \frac{5}{2}$ が $x=1$ または $x=2$ で $y=x$ と接する場合を考える。$a > 0$なので、いずれの場合も、1 < x < 2に解を持つことはない。

解を持つ条件として、判別式 $D > 0$ が必要。

$D = (-1)^2 - 4 \cdot a \cdot \frac{5}{2} = 1 - 10a > 0$

$1 > 10a$ より $a < \frac{1}{10}$。

また、$1 \le x < 2$ に解を持つので、解の公式より $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 10a}}{2a}$ となり、$1 \le \frac{1 \pm \sqrt{1 - 10a}}{2a} < 2$ を満たす必要がある。

$2 \le x < 3$ では $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と $y = 2x$ の交点を考える。

$ax^2 + \frac{5}{2} = 2x$ より $ax^2 - 2x + \frac{5}{2} = 0$。

判別式 $D = (-2)^2 - 4 \cdot a \cdot \frac{5}{2} = 4 - 10a > 0$

$4 > 10a$ より $a < \frac{2}{5}$

解の公式より $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 10a}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - \frac{5}{2}a}}{a}$

$2 \le \frac{1 \pm \sqrt{1 - \frac{5}{2}a}}{a} < 3$ を満たす必要がある。

$f(2) = 4a - 4 + \frac{5}{2} = 4a - \frac{3}{2}$

$f(3) = 9a - 6 + \frac{5}{2} = 9a - \frac{7}{2}$

$f(2) f(3) < 0$ ならば解を持つ。

$(4a - \frac{3}{2})(9a - \frac{7}{2}) < 0$

$(\frac{8a - 3}{2})(\frac{18a - 7}{2}) < 0$

$(8a - 3)(18a - 7) < 0$

$\frac{3}{8} < a < \frac{7}{18}$

2つの共有点を持つためには、少なくとも一つの区間で異なる交点を持てばよい。

$\frac{3}{8} < a < \frac{7}{18}$ は $\frac{3}{8} = 0.375$ であり、$\frac{7}{18} \approx 0.389$ である。

$a < \frac{2}{5} = 0.4$ を満たしている。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{8} < a < \frac{7}{18}$