3次関数 $y = 3x^3 - ax^2 + (a-2)x - 4$ が極値を持つような $a$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

3次関数 $y = 3x^3 - ax^2 + (a-2)x - 4$ が極値を持つような $a$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

3次関数が極値を持つための条件は、導関数 $y'$ が異なる2つの実数解を持つことです。

まず、$y$ を $x$ で微分します。

$y' = 9x^2 - 2ax + (a-2)$

次に、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。これは2次方程式なので、判別式を $D$ とすると、$D > 0$ であれば異なる2つの実数解を持つことになります。

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (a-2) = 4a^2 - 36a + 72$

$D > 0$ となる $a$ の範囲を求めます。

$4a^2 - 36a + 72 > 0$

$a^2 - 9a + 18 > 0$

$(a - 3)(a - 6) > 0$

したがって、$a < 3$ または $6 < a$ となります。

3. 最終的な答え

$a < 3$ または $6 < a$