実数 $x$ に対し、$n \le x < n+1$ を満たす整数 $n$ を $[x]$ で表す。 (1) 関数 $y = x[x]$ ($0 \le x < 3$) のグラフを描け。 (2) $a$ を正の定数とする。曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と (1) のグラフが相異なる 2 つの共有点を持つような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対し、$n \le x < n+1$ を満たす整数 $n$ を $[x]$ で表す。

(1) 関数 $y = x[x]$ ($0 \le x < 3$) のグラフを描け。

(2) $a$ を正の定数とする。曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と (1) のグラフが相異なる 2 つの共有点を持つような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $0 \le x < 3$ の範囲で、$y = x[x]$ のグラフを描く。

- $0 \le x < 1$ のとき、$[x] = 0$ なので、$y = x \cdot 0 = 0$。

- $1 \le x < 2$ のとき、$[x] = 1$ なので、$y = x \cdot 1 = x$。

- $2 \le x < 3$ のとき、$[x] = 2$ なので、$y = x \cdot 2 = 2x$。

したがって、$y = x[x]$ のグラフは、以下のようになる。

- $0 \le x < 1$ で、$y=0$

- $1 \le x < 2$ で、$y=x$

- $2 \le x < 3$ で、$y=2x$

(2) $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と $y = x[x]$ のグラフが 2 つの共有点を持つ条件を考える。

- $0 \le x < 1$ では、$y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と $y=0$ が交点を持つことはない。なぜなら、$ax^2 + \frac{5}{2}$ は常に $\frac{5}{2}$ 以上であり、$y=0$とは交わらない。

- $1 \le x < 2$ では、$y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と $y=x$ が交点を持つ条件を考える。$ax^2 + \frac{5}{2} = x$、つまり、$ax^2 - x + \frac{5}{2} = 0$。判別式 $D = (-1)^2 - 4 \cdot a \cdot \frac{5}{2} = 1 - 10a$。

異なる 2 つの共有点を持つ必要はなく、$1 \le x < 2$ の範囲で少なくとも 1 つの解を持てばよい。$f(x) = ax^2 - x + \frac{5}{2}$とすると、

$f(1) = a - 1 + \frac{5}{2} = a + \frac{3}{2} > 0$ なので、解が $x<1$ に存在することはない。

$f(2) = 4a - 2 + \frac{5}{2} = 4a + \frac{1}{2} > 0$

なので、 $ax^2-x+\frac{5}{2} = 0$が $1 \le x < 2$ に解をもつには、$D=1-10a \ge 0$が必要なので、$0 < a \le \frac{1}{10}$

- $2 \le x < 3$ では、$y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と $y=2x$ が交点を持つ条件を考える。$ax^2 + \frac{5}{2} = 2x$、つまり、$ax^2 - 2x + \frac{5}{2} = 0$。判別式 $D = (-2)^2 - 4 \cdot a \cdot \frac{5}{2} = 4 - 10a$。

異なる 2 つの共有点を持つ必要はなく、$2 \le x < 3$ の範囲で少なくとも 1 つの解を持てばよい。$f(x) = ax^2 - 2x + \frac{5}{2}$とすると、

$f(2) = 4a - 4 + \frac{5}{2} = 4a - \frac{3}{2}$。

$f(3) = 9a - 6 + \frac{5}{2} = 9a - \frac{7}{2}$。

$ax^2 - 2x + \frac{5}{2}=0$ が $2 \le x < 3$ に解を持つには、$D=4-10a \ge 0$が必要なので、$0 < a \le \frac{2}{5}$。

$4a-\frac{3}{2} \le 0$ ならばよいので、$a \le \frac{3}{8}$。

$9a-\frac{7}{2} > 0$　より、$a > \frac{7}{18}$

　　$a > \frac{7}{18}$かつ$a \le \frac{2}{5}$であるとき、$ax^2 - 2x + \frac{5}{2}=0$は$2 \le x < 3$に少なくとも1つ解を持つ。

二つの共有点をもつには、$0 < a \le \frac{1}{10}$または、$\frac{7}{18} < a \le \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$0 < a \le \frac{1}{10}$, $\frac{7}{18} < a \le \frac{3}{8}$

$\frac{7}{18} < a \le \frac{2}{5}$

または

$0 < a \le \frac{1}{10}$ または $\frac{7}{18} < a \le \frac{2}{5}$

誤り。$\frac{1}{10} < \frac{7}{18}$であり、$f(2) \le 0$かつ$f(3)>0$ または $f(2) \ge 0$かつ$D>0$ であることが必要。

$0 < a \le \frac{1}{10} \quad or \quad \frac{7}{18} < a \le \frac{3}{8}$

$\frac{1}{10} < a \le \frac{3}{8}$ が正解

答え：$\frac{1}{10} < a \le \frac{3}{8}$

$\frac{1}{10} \lt a \le \frac{3}{8}$