(1) $ \int_{0}^{\pi} |\sin x - \sqrt{3} \cos x| dx $ (2) $ \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1 + \cos x} dx $ 上記の2つの定積分を計算します。

1. 問題の内容

(1) $\int_{0}^{\pi} |\sin x - \sqrt{3} \cos x| dx$

(2) $\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1 + \cos x} dx$

上記の2つの定積分を計算します。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sin x - \sqrt{3} \cos x$ を三角関数の合成を用いて変形します。

$\sin x - \sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) = 2(\sin x \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \sin \frac{\pi}{3}) = 2 \sin(x - \frac{\pi}{3})$

したがって、$\int_{0}^{\pi} |\sin x - \sqrt{3} \cos x| dx = \int_{0}^{\pi} |2 \sin(x - \frac{\pi}{3})| dx = 2 \int_{0}^{\pi} |\sin(x - \frac{\pi}{3})| dx$

ここで、$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0$ となるのは、$x - \frac{\pi}{3} = 0, \pi$ より $x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ です。

積分区間 $[0, \pi]$ において、$\frac{\pi}{3}$ で符号が変わります。

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) \geq 0$ となるのは $\frac{\pi}{3} \leq x \leq \pi$ のときであり、

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) \leq 0$ となるのは $0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}$ のときです。

したがって、

$2 \int_{0}^{\pi} |\sin(x - \frac{\pi}{3})| dx = 2 \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} -\sin(x - \frac{\pi}{3}) dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \sin(x - \frac{\pi}{3}) dx \right)$

$= 2 \left( [\cos(x - \frac{\pi}{3})]_{0}^{\frac{\pi}{3}} + [-\cos(x - \frac{\pi}{3})]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \right)$

$= 2 \left( (\cos 0 - \cos(-\frac{\pi}{3})) + (-\cos(\frac{2\pi}{3}) + \cos 0) \right)$

$= 2 \left( (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} + 1) \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \right) = 2(2) = 4$

(2)

$\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1 + \cos x} dx$

半角の公式 $\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$ より、$1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ なので、

$\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1 + \cos x} dx = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} |\cos \frac{x}{2}| dx$

$\cos \frac{x}{2}$ の符号は、

$0 \leq x \leq \pi$ で $\cos \frac{x}{2} \geq 0$

$\pi \leq x \leq 2\pi$ で $\cos \frac{x}{2} \leq 0$

なので、

$\sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} |\cos \frac{x}{2}| dx = \sqrt{2} \left( \int_{0}^{\pi} \cos \frac{x}{2} dx + \int_{\pi}^{2\pi} -\cos \frac{x}{2} dx \right)$

$= \sqrt{2} \left( [2\sin \frac{x}{2}]_{0}^{\pi} + [-2\sin \frac{x}{2}]_{\pi}^{2\pi} \right)$

$= \sqrt{2} \left( (2\sin \frac{\pi}{2} - 2\sin 0) + (-2\sin \pi + 2\sin \frac{\pi}{2}) \right)$

$= \sqrt{2} \left( (2(1) - 0) + (-0 + 2(1)) \right) = \sqrt{2} (2 + 2) = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $4\sqrt{2}$