10から100までの整数の中で、6で割ると2余るもの全ての和を求める。

1. 問題の内容

10から100までの整数の中で、6で割ると2余るもの全ての和を求める。

2. 解き方の手順

6で割ると2余る数は $6n+2$ (nは整数)で表せる。

10以上100以下の整数なので、次の不等式が成り立つ。

$10 \le 6n+2 \le 100$

各辺から2を引くと、

$8 \le 6n \le 98$

各辺を6で割ると、

$\frac{8}{6} \le n \le \frac{98}{6}$

$1.33... \le n \le 16.33...$

nは整数なので、$2 \le n \le 16$ となる。

したがって、求める和は、$n=2$から$n=16$までの$6n+2$の和である。

$\sum_{n=2}^{16} (6n+2) = 6\sum_{n=2}^{16} n + \sum_{n=2}^{16} 2$

$\sum_{n=2}^{16} n = \sum_{n=1}^{16} n - 1 = \frac{16(16+1)}{2} - 1 = \frac{16 \times 17}{2} - 1 = 8 \times 17 - 1 = 136 - 1 = 135$

$\sum_{n=2}^{16} 2 = 2 \times (16 - 2 + 1) = 2 \times 15 = 30$

よって、

$\sum_{n=2}^{16} (6n+2) = 6 \times 135 + 30 = 810 + 30 = 840$

3. 最終的な答え

840