$135n$がある自然数の2乗となるような自然数$n$のうち、最も小さい$n$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$135n$がある自然数の2乗となるような自然数$n$のうち、最も小さい$n$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$135$を素因数分解します。

$135 = 3 \times 45 = 3 \times 3 \times 15 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 = 3^3 \times 5$

したがって、$135n = 3^3 \times 5 \times n$ となります。

$135n$がある自然数の2乗になるためには、素因数分解したときの各素数の指数が偶数である必要があります。

$3^3$の指数は3で奇数なので、少なくとももう一つ3が必要です。

$5$の指数は1で奇数なので、少なくとももう一つ5が必要です。

したがって、$n$は$3 \times 5 = 15$の倍数である必要があります。

$n$が最も小さい自然数である必要があるので、$n = 3 \times 5 = 15$のとき、$135n = 3^3 \times 5 \times (3 \times 5) = 3^4 \times 5^2 = (3^2 \times 5)^2 = (9 \times 5)^2 = 45^2 = 2025$ となり、$135n$はある自然数の2乗となります。

3. 最終的な答え

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