$a, b, c$ を整数とし、2次関数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ を考える。ただし、$a \ne 0$ である。$|x| \le 1$ を満たすすべての実数 $x$ に対して、$|f(x)| \le 1$ が成り立つとする。 (1) $a, b, c$ を $f(1), f(-1), f(0)$ を用いて表せ。 (2) $f(x)$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$a, b, c$ を整数とし、2次関数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ を考える。ただし、$a \ne 0$ である。$|x| \le 1$ を満たすすべての実数 $x$ に対して、$|f(x)| \le 1$ が成り立つとする。

(1) $a, b, c$ を $f(1), f(-1), f(0)$ を用いて表せ。

(2) $f(x)$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(1), f(-1), f(0)$ を $a, b, c$ で表す。

$f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$

$f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$

$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c$

次に、これらの式を連立させて、$a, b, c$ を $f(1), f(-1), f(0)$ で表す。

$f(1) + f(-1) = (a + b + c) + (a - b + c) = 2a + 2c$

$f(1) - f(-1) = (a + b + c) - (a - b + c) = 2b$

したがって、

$2a = f(1) + f(-1) - 2c = f(1) + f(-1) - 2f(0)$

$a = \frac{f(1) + f(-1)}{2} - f(0)$

$2b = f(1) - f(-1)$

$b = \frac{f(1) - f(-1)}{2}$

$c = f(0)$

(2) 条件 $|x| \le 1$ で $|f(x)| \le 1$ を満たす整数係数の二次関数 $f(x)$ を求める。

$a, b, c$ が整数なので、$\frac{f(1) + f(-1)}{2} - f(0)$ と $\frac{f(1) - f(-1)}{2}$ は整数である。

これは、$f(1) + f(-1)$ と $f(1) - f(-1)$ が偶数であることと同値である。

したがって、$f(1)$ と $f(-1)$ は偶奇が一致する。

$f(0) = c$ は整数で、$|f(0)| \le 1$ なので、$f(0) = -1, 0, 1$ のいずれか。

$|f(1)| \le 1$ なので、$f(1) = -1, 0, 1$ のいずれか。

$|f(-1)| \le 1$ なので、$f(-1) = -1, 0, 1$ のいずれか。

$f(1)$ と $f(-1)$ は偶奇が一致するので、

(i) $f(1), f(-1) = -1, 1$

(ii) $f(1), f(-1) = 0$

$a, b, c$ が整数であるという条件から候補を絞り込む。

$a = \frac{f(1) + f(-1)}{2} - f(0), b = \frac{f(1) - f(-1)}{2}, c = f(0)$

(i) $f(0) = -1$ のとき、 $a = \frac{f(1)+f(-1)}{2}+1, b = \frac{f(1)-f(-1)}{2}$.

$f(1), f(-1) = -1, 1$ のとき、$f(1) = f(-1)$ なので、$b = 0$。

$a = \frac{-1-1}{2} + 1 = 0$, $a = \frac{1+1}{2} + 1 = 2$.

ところが、$a \ne 0$ なので、$a=2$。 $f(x)=2x^2 - 1$.

このとき、$|x| \le 1$ なので $0 \le x^2 \le 1$。よって $-1 \le 2x^2 - 1 \le 1$ を満たす。

$f(0) = 0$ のとき、$f(1), f(-1)$ は偶奇が一致するので、$f(1), f(-1) = -1, 1, 0$。

$f(1), f(-1) = -1, 1$ なら、$b=1$ or $b=-1$。$a = \frac{-1-1}{2} = -1 or a = \frac{1+1}{2} = 1$。$f(x) = x^2+x, f(x) = x^2-x, f(x) = -x^2-x, f(x) = -x^2+x$

$f(x) = x^2 + x = x(x+1)$. $f(1) = 2 > 1$なのでこれは駄目。同様に $f(x) = -x^2-x, f(x) = x^2 -x, f(x) = -x^2 + x$ もだめ。

$f(1)=f(-1)=0$ なら、$a = 0, b = 0, c = 0$. これは $a \ne 0$ に反するのでだめ。

$f(0) = 1$ のとき、$f(1) = f(-1) = -1, 1$。

$f(1) = f(-1) = -1$ なら、$a = \frac{-2}{2} - 1 = -2, b = 0, c = 1$。 $f(x) = -2x^2 + 1$。

$f(1) = f(-1) = 1$ なら、$a = \frac{2}{2} - 1 = 0, b = 0, c = 1$。これは $a \ne 0$ に反するのでだめ。

$f(x) = -2x^2 + 1$ のとき、$|x| \le 1$ なので $0 \le x^2 \le 1$。よって $-2 \le -2x^2 \le 0$。したがって $-1 \le -2x^2+1 \le 1$。

3. 最終的な答え

$a = \frac{f(1) + f(-1)}{2} - f(0)$

$b = \frac{f(1) - f(-1)}{2}$

$c = f(0)$

$f(x) = 2x^2 - 1$

$f(x) = -2x^2 + 1$