## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた4つの数式をそれぞれ計算し、最も簡単な形で表してください。

(1) $\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-2}$

(2) $\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x^2 - x}$

(3) $\frac{x}{x+1} + \frac{3x-1}{x^2 - 2x - 3}$

(4) $\frac{3x+5}{x^2 - 1} - \frac{1}{x^2 + x}$

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2. 解き方の手順

(1) $\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-2}$

通分して計算します。

$\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)} + \frac{3(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{2x - 4 + 3x + 3}{(x+1)(x-2)} = \frac{5x - 1}{(x+1)(x-2)} = \frac{5x - 1}{x^2 - x - 2}$

(2) $\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x^2 - x}$

まず、分母を因数分解します。$x^2 - x = x(x-1)$

$\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x(x-1)}$

通分して計算します。

$\frac{x^2}{x(x-1)} - \frac{1}{x(x-1)} = \frac{x^2 - 1}{x(x-1)} = \frac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x}$

(3) $\frac{x}{x+1} + \frac{3x-1}{x^2 - 2x - 3}$

まず、分母を因数分解します。$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$

$\frac{x}{x+1} + \frac{3x-1}{(x-3)(x+1)}$

通分して計算します。

$\frac{x(x-3)}{(x+1)(x-3)} + \frac{3x-1}{(x+1)(x-3)} = \frac{x^2 - 3x + 3x - 1}{(x+1)(x-3)} = \frac{x^2 - 1}{(x+1)(x-3)} = \frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-3)} = \frac{x-1}{x-3}$

(4) $\frac{3x+5}{x^2 - 1} - \frac{1}{x^2 + x}$

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

$x^2 + x = x(x+1)$

$\frac{3x+5}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{x(x+1)}$

通分して計算します。

$\frac{x(3x+5)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{(x-1)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{3x^2 + 5x - x + 1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{3x^2 + 4x + 1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{(3x+1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{3x+1}{x(x-1)} = \frac{3x+1}{x^2-x}$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{5x - 1}{x^2 - x - 2}$

(2) $\frac{x+1}{x}$

(3) $\frac{x-1}{x-3}$

(4) $\frac{3x+1}{x^2-x}$