2次関数 $y = -x^2 + 3x - 4$ のグラフとx軸との共有点の有無を、2つの方法で考え、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 3x - 4$ のグラフとx軸との共有点の有無を、2つの方法で考え、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $-x^2 + 3x - 4 = 0$ を解く。

解の公式を用いると、 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ より、

$a = -1$, $b = 3$, $c = -4$ を代入すると

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-4)}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 16}}{-2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-7}}{-2}$

よって、アには $\frac{-3 \pm \sqrt{-7}}{-2}$ が入ります。

根号の中は $-7$ となるから、イには $-7$ が入ります。 根号の中身が負であるため、実数解は存在しません。したがって、グラフとx軸との共有点はありません。

(2) 2次関数 $y = -x^2 + 3x - 4$ のグラフの頂点を求める。

$y = -x^2 + 3x - 4$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 3x) - 4$

$y = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 4$

$y = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} - \frac{16}{4}$

$y = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{7}{4}$

したがって、頂点は $\left(\frac{3}{2}, -\frac{7}{4}\right)$ となります。

よって、ウには $\left(\frac{3}{2}, -\frac{7}{4}\right)$ が入ります。

グラフは上に凸で、頂点のy座標が負なので、x軸との共有点はありません。

上に凸であるグラフは③か④ですが、④は頂点がx軸より上にあるので、③が適切です。

よって、エには ③ が入ります。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{-3 \pm \sqrt{-7}}{-2}$

イ: $-7$

ウ: $\left(\frac{3}{2}, -\frac{7}{4}\right)$

エ: ③