与えられた複素数の割り算 $\frac{2+3i}{5-i}$ を計算し、結果を $a+bi$ の形で表す問題です。

代数学複素数複素数の除算複素数の有理化
2025/4/21
はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた複素数の割り算 2+3i5i\frac{2+3i}{5-i} を計算し、結果を a+bia+bi の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

複素数の分母の有理化を行います。分母の共役複素数である 5+i5+i を分母と分子の両方にかけることで、分母を実数にします。
2+3i5i=(2+3i)(5+i)(5i)(5+i)\frac{2+3i}{5-i} = \frac{(2+3i)(5+i)}{(5-i)(5+i)}
分子を展開します。
(2+3i)(5+i)=2(5)+2(i)+3i(5)+3i(i)=10+2i+15i+3i2(2+3i)(5+i) = 2(5) + 2(i) + 3i(5) + 3i(i) = 10 + 2i + 15i + 3i^2
i2=1i^2 = -1 なので、
10+2i+15i3=7+17i10 + 2i + 15i - 3 = 7 + 17i
分母を展開します。
(5i)(5+i)=5(5)+5(i)i(5)i(i)=25+5i5ii2(5-i)(5+i) = 5(5) + 5(i) - i(5) - i(i) = 25 + 5i - 5i - i^2
i2=1i^2 = -1 なので、
25(1)=25+1=2625 - (-1) = 25 + 1 = 26
したがって、
2+3i5i=7+17i26=726+1726i\frac{2+3i}{5-i} = \frac{7+17i}{26} = \frac{7}{26} + \frac{17}{26}i

3. 最終的な答え

726+1726i\frac{7}{26} + \frac{17}{26}i

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