問題5は、実数 $r$ （ただし $r \ne 1$）と自然数 $n$ に対して、$S_n = 4 + 4r + 4r^2 + \dots + 4r^{n-1}$ と定義するとき、以下の問いに答えるものです。 (1) $S_n$ を $n$ と $r$ を用いた分数式で表してください。 (2) $\lim_{n \to \infty} S_n$ が収束する $r$ の範囲を求めてください。 問題6は、循環小数 $0.345345345\dots$ を整数の分数で表してください。

1. 問題の内容

問題5は、実数 $r$ （ただし $r \ne 1$）と自然数 $n$ に対して、$S_n = 4 + 4r + 4r^2 + \dots + 4r^{n-1}$ と定義するとき、以下の問いに答えるものです。

(1) $S_n$ を $n$ と $r$ を用いた分数式で表してください。

(2) $\lim_{n \to \infty} S_n$ が収束する $r$ の範囲を求めてください。

問題6は、循環小数 $0.345345345\dots$ を整数の分数で表してください。

2. 解き方の手順

問題5：

(1) $S_n$ は初項4、公比 $r$、項数 $n$ の等比数列の和であるため、等比数列の和の公式を用いると、

$S_n = \frac{4(1 - r^n)}{1 - r}$

(2) $\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4(1 - r^n)}{1 - r}$

この極限が収束するためには、$\lim_{n \to \infty} r^n$ が収束する必要があります。

$\lim_{n \to \infty} r^n$ が収束するのは、$-1 < r < 1$ のときです。このとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ となります。したがって、

$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{4(1 - 0)}{1 - r} = \frac{4}{1 - r}$

よって、$r$ が $-1 < r < 1$ の範囲にあるとき、$S_n$ は収束します。

問題6：

循環小数 $0.345345345\dots$ を $x$ とおくと、

$x = 0.345345345\dots$

$1000x = 345.345345345\dots$

$1000x - x = 345.345345345\dots - 0.345345345\dots$

$999x = 345$

$x = \frac{345}{999} = \frac{115}{333}$

3. 最終的な答え

問題5：

(1) $S_n = \frac{4(1 - r^n)}{1 - r}$

(2) $-1 < r < 1$

問題6：

$\frac{115}{333}$