2次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 3$ のグラフをGとする。 (1) グラフGの軸の方程式と頂点の座標を求め、グラフGの概形を選択する。 (2) グラフGを平行移動して、2次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 1$ のグラフに重ねるための移動量を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 3$ のグラフをGとする。

(1) グラフGの軸の方程式と頂点の座標を求め、グラフGの概形を選択する。

(2) グラフGを平行移動して、2次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 1$ のグラフに重ねるための移動量を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた2次関数の式を平方完成する。

$y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 3 = -\frac{1}{2}(x^2 - 8x) - 3 = -\frac{1}{2}(x^2 - 8x + 16 - 16) - 3 = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 8 - 3 = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 5$

したがって、グラフGの軸は $x = 4$ であり、頂点は $(4, 5)$ である。

第1群から、ソ = 2、タ = 4。

グラフGは上に凸の放物線で、頂点が (4, 5) なので、グラフは図2となる。

したがって、チ = 2。

(2)

平行移動後のグラフの式も平方完成する。

$y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 1 = -\frac{1}{2}(x^2 + 4x) + 1 = -\frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4 - 4) + 1 = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 2 + 1 = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 3$

したがって、平行移動後のグラフの頂点は $(-2, 3)$ である。

グラフGの頂点 $(4, 5)$ を $(-2, 3)$ に移すには、

x軸方向に $x = -2 - 4 = -6$

y軸方向に $y = 3 - 5 = -2$

移動させればよい。

3. 最終的な答え

ソ = 2

タ = 4

チ = 2

ツテ = -6

トナ = -2