一次関数 $f(x) = 3x + 1$ について、以下の3つの問題を解きます。 (i) $f(-\frac{7}{3})$ の値を求めます。 (ii) $y = f(x)$ のグラフの $-2 < x \le k$ における実線の部分として適切なものを選択肢から選びます。 (iii) $k > -2$ のとき、$f(x)$ の $-2 < x \le k$ における最大値が 3 となるような $k$ の値を求め、その時の $f(x)$ の最小値が存在するかどうかを判断します。

1. 問題の内容

一次関数 $f(x) = 3x + 1$ について、以下の3つの問題を解きます。

(i) $f(-\frac{7}{3})$ の値を求めます。

(ii) $y = f(x)$ のグラフの $-2 < x \le k$ における実線の部分として適切なものを選択肢から選びます。

(iii) $k > -2$ のとき、$f(x)$ の $-2 < x \le k$ における最大値が 3 となるような $k$ の値を求め、その時の $f(x)$ の最小値が存在するかどうかを判断します。

2. 解き方の手順

(i) $f(-\frac{7}{3})$ を計算します。

$f(-\frac{7}{3}) = 3 \times (-\frac{7}{3}) + 1 = -7 + 1 = -6$

(ii) $y = f(x) = 3x + 1$ のグラフを考えます。

$y$ 切片は 1 です。

$x$ が増加すると $y$ も増加するため、グラフは右上がりです。

選択肢の中から、y切片が1で右上がりのグラフを選びます。選択肢のグラフの実線部分の定義域が $-2<x \le k$ となっています。

$x=-2$ の時、$y = 3(-2) + 1 = -6 + 1 = -5$

したがって、グラフの候補は④になります。

(iii) $f(x) = 3x + 1$ の $-2 < x \le k$ における最大値が 3 となる $k$ を求めます。

最大値が 3 であるとき、$f(k) = 3$ となります。

$3k + 1 = 3$

$3k = 2$

$k = \frac{2}{3}$

このとき、$x = -2$ における $f(x)$ の値は、$3(-2) + 1 = -5$ です。

$-2 < x \le \frac{2}{3}$ の範囲での最小値は、xが-2に近いほど小さくなりますが、定義域は $-2 < x \le \frac{2}{3}$ なので、x=-2を含まず、したがって最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

(i) $f(-\frac{7}{3}) = -6$

(ii) グラフは④

(iii) $k = \frac{2}{3}$ で、最小値は ② ない