2次関数 $y = ax^2 + 12x - b$ のグラフを、点 $(0, 4)$ に関して対称移動し、さらに、$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動すると、2次関数 $y = 3x^2 + 6x + 1$ のグラフに重なるとき、$a$, $b$, $p$ の値を求める問題です。ただし、$a \neq 0$ とします。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + 12x - b$ のグラフを、点 $(0, 4)$ に関して対称移動し、さらに、$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動すると、2次関数 $y = 3x^2 + 6x + 1$ のグラフに重なるとき、$a$, $b$, $p$ の値を求める問題です。ただし、$a \neq 0$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$y = ax^2 + 12x - b$ を点 $(0, 4)$ に関して対称移動させます。

点対称移動後のグラフの式を $y = f(x)$ とすると、点 $(x, y)$ が点 $(0, 4)$ に関して対称な点 $(x', y')$ は、$x' = -x$, $y' = 8 - y$ を満たします。

したがって、$x = -x'$, $y = 8 - y'$ となり、元の式に代入すると、

$8 - y' = a(-x')^2 + 12(-x') - b$

$8 - y' = ax'^2 - 12x' - b$

$y' = -ax'^2 + 12x' + 8 + b$

よって、点対称移動後のグラフは $y = -ax^2 + 12x + 8 + b$ です。

次に、このグラフを $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動させます。

平行移動後のグラフの式を $y = g(x)$ とすると、$x$ を $x - p$ に、$y$ を $y + 2$ に置き換えます。

$y + 2 = -a(x - p)^2 + 12(x - p) + 8 + b$

$y = -a(x^2 - 2px + p^2) + 12x - 12p + 8 + b - 2$

$y = -ax^2 + 2apx - ap^2 + 12x - 12p + 6 + b$

$y = -ax^2 + (2ap + 12)x - ap^2 - 12p + 6 + b$

このグラフが $y = 3x^2 + 6x + 1$ と一致するので、係数を比較します。

$-a = 3$

$2ap + 12 = 6$

$-ap^2 - 12p + 6 + b = 1$

最初の式から、$a = -3$ です。

2番目の式に代入すると、$2(-3)p + 12 = 6$

$-6p = -6$

$p = 1$

3番目の式に代入すると、$-(-3)(1)^2 - 12(1) + 6 + b = 1$

$3 - 12 + 6 + b = 1$

$-3 + b = 1$

$b = 4$

3. 最終的な答え

$a = -3$

$b = 4$

$p = 1$