与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (1) $2ax^2 - 8a$ (2) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$ (3) $(x-4)(3x+1) + 10$ (4) $2n^3 + 3n^2 + n$

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(1) $2ax^2 - 8a$

(2) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$

(3) $(x-4)(3x+1) + 10$

(4) $2n^3 + 3n^2 + n$

2. 解き方の手順

(1)

まず、共通因数でくくります。

$2ax^2 - 8a = 2a(x^2 - 4)$

次に、$x^2 - 4$ を因数分解します。

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

したがって、$2ax^2 - 8a = 2a(x-2)(x+2)$

(2)

項を並び替えて、共通因数でくくります。

$ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2 = ax^2 - bx^2 + by^2 - ay^2 = x^2(a-b) - y^2(a-b)$

次に、$(a-b)$ でくくります。

$x^2(a-b) - y^2(a-b) = (a-b)(x^2 - y^2)$

最後に、$x^2 - y^2$ を因数分解します。

$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$

したがって、$ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2 = (a-b)(x-y)(x+y)$

(3)

式を展開して整理します。

$(x-4)(3x+1) + 10 = 3x^2 + x - 12x - 4 + 10 = 3x^2 - 11x + 6$

次に、$3x^2 - 11x + 6$ を因数分解します。

$3x^2 - 11x + 6 = (3x-2)(x-3)$

したがって、$(x-4)(3x+1) + 10 = (3x-2)(x-3)$

(4)

まず、共通因数でくくります。

$2n^3 + 3n^2 + n = n(2n^2 + 3n + 1)$

次に、$2n^2 + 3n + 1$ を因数分解します。

$2n^2 + 3n + 1 = (2n+1)(n+1)$

したがって、$2n^3 + 3n^2 + n = n(2n+1)(n+1)$

3. 最終的な答え

(1) $2a(x-2)(x+2)$

(2) $(a-b)(x-y)(x+y)$

(3) $(3x-2)(x-3)$

(4) $n(2n+1)(n+1)$