与えられた9つの式を展開する問題です。

1. 問題の内容

与えられた9つの式を展開する問題です。

2. 解き方の手順

各問題ごとに展開の手順を示します。

(1) $(2m+5)(m-2)$

分配法則を用いて展開します。

$2m(m-2) + 5(m-2) = 2m^2 - 4m + 5m - 10$

同類項をまとめます。

$2m^2 + m - 10$

(2) $(6a-5b)(6a+5b)$

これは和と差の積の形なので、$a^2 - b^2$の公式を利用します。

$(6a)^2 - (5b)^2 = 36a^2 - 25b^2$

(3) $(3-2x)(1+x)$

分配法則を用いて展開します。

$3(1+x) - 2x(1+x) = 3 + 3x - 2x - 2x^2$

同類項をまとめます。

$-2x^2 + x + 3$

(4) $(x-a+1)^2$

$(x-a+1)(x-a+1)$を展開します。

$x(x-a+1) - a(x-a+1) + 1(x-a+1) = x^2 - ax + x - ax + a^2 - a + x - a + 1$

同類項をまとめます。

$x^2 - 2ax + 2x + a^2 - 2a + 1$

$x^2 + a^2 + 1 - 2ax + 2x - 2a$

(5) $(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$

$(A+2x)(A-2x)$の形なので、ここで$A=x^2+2$と置くと、

$(x^2+2)^2 - (2x)^2 = (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = x^4 + 4$

(6) $(x+y-z)(x-y+z)$

$(x+(y-z))(x-(y-z))$の形なので、和と差の積の公式を使えます。

$x^2 - (y-z)^2 = x^2 - (y^2 - 2yz + z^2) = x^2 - y^2 + 2yz - z^2$

(7) $(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)$

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$より、

$(x^4+1)(x^2+1)(x^2-1) = (x^4+1)(x^4 - 1) = x^8 - 1$

(8) $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$、$(x-2)(x+2) = x^2 - 4$より、

$(x^2 - 1)(x^2 - 4) = x^4 - 4x^2 - x^2 + 4 = x^4 - 5x^2 + 4$

(9) $(x+4)(x+2)(x-1)(x-3)$

$(x+4)(x-3) = x^2 + x - 12$、$(x+2)(x-1) = x^2 + x - 2$より、

$(x^2+x-12)(x^2+x-2)$

ここで、$A = x^2 + x$と置くと、

$(A-12)(A-2) = A^2 - 14A + 24 = (x^2+x)^2 - 14(x^2+x) + 24$

$= x^4 + 2x^3 + x^2 - 14x^2 - 14x + 24 = x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 14x + 24$

3. 最終的な答え

(1) $2m^2 + m - 10$

(2) $36a^2 - 25b^2$

(3) $-2x^2 + x + 3$

(4) $x^2 - 2ax + 2x + a^2 - 2a + 1$

(5) $x^4 + 4$

(6) $x^2 - y^2 + 2yz - z^2$

(7) $x^8 - 1$

(8) $x^4 - 5x^2 + 4$

(9) $x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 14x + 24$