(1) $(x^2 + 1)^2$ を展開する。 (2) (1)の結果を利用して、$x^4 + x^2 + 1$ を因数分解する。

1. 問題の内容

(1) $(x^2 + 1)^2$ を展開する。

(2) (1)の結果を利用して、$x^4 + x^2 + 1$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) $(x^2 + 1)^2$ の展開:

二項定理または展開公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を利用する。

$a = x^2$, $b = 1$ とすると、

$(x^2 + 1)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(1) + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

(2) $x^4 + x^2 + 1$ の因数分解:

(1)の結果を利用するために、$x^4 + x^2 + 1$ を $x^4 + 2x^2 + 1$ に近い形に変形することを考える。

$x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2$

(1)の結果より $x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2$ なので、

$x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2$

これは二乗の差の形 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ であり、$a = x^2 + 1$, $b = x$ とすると、

$(x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x) = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

(2) $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$