2次方程式 $x^2 - 22x - 7 = 0$ の解を $x = a + \sqrt{b}$ と表すとき、$b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 22x - 7 = 0$ の解を $x = a + \sqrt{b}$ と表すとき、$b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式を解の公式を使って解きます。

解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ の解が $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられるというものです。

今回の場合は、$a = 1$, $b = -22$, $c = -7$ ですから、解の公式に代入すると

$x = \frac{-(-22) \pm \sqrt{(-22)^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)}$

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 + 28}}{2}$

$x = \frac{22 \pm \sqrt{512}}{2}$

ここで、$\sqrt{512}$ を簡単にします。$512 = 2^9 = 2^8 \cdot 2 = (2^4)^2 \cdot 2 = 16^2 \cdot 2$ ですから、$\sqrt{512} = 16\sqrt{2}$ となります。

$x = \frac{22 \pm 16\sqrt{2}}{2}$

$x = 11 \pm 8\sqrt{2}$

問題文で、解を $x = a + \sqrt{b}$ と表すと書かれており、今回求めた解は $x = 11 \pm 8\sqrt{2}$ です。問題で聞かれているのは $x = a + \sqrt{b}$ と表した時の $b$ の値なので、$11 + 8\sqrt{2} = a + \sqrt{b}$ と比較します。

$8\sqrt{2}$ を $\sqrt{b}$ の形に書き換えると、$\sqrt{8^2 \cdot 2} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{128}$ となります。

よって、$x = 11 + \sqrt{128}$ となり、$b = 128$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

128