2次方程式 $3x^2 - 5x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の式の値を求めよ。 問題文に具体的な式が書かれていないため、どの式について値を求めればよいか不明です。 ここでは、一般的な解と係数の関係から求められる式として、$\alpha + \beta$、$\alpha \beta$、$ \alpha^2 + \beta^2 $、$ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} $の値を求めることとします。

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 - 5x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の式の値を求めよ。

問題文に具体的な式が書かれていないため、どの式について値を求めればよいか不明です。

ここでは、一般的な解と係数の関係から求められる式として、$\alpha + \beta$、$\alpha \beta$、$\alpha^2 + \beta^2$、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$の値を求めることとします。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

が成り立ちます。

与えられた2次方程式 $3x^2 - 5x + 3 = 0$ において、$a=3$, $b=-5$, $c=3$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-5}{3} = \frac{5}{3}$

$\alpha \beta = \frac{3}{3} = 1$

となります。

次に、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めます。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ より、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

ここに、$\alpha + \beta = \frac{5}{3}$、$\alpha \beta = 1$ を代入すると、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\frac{5}{3})^2 - 2(1) = \frac{25}{9} - 2 = \frac{25}{9} - \frac{18}{9} = \frac{7}{9}$

最後に、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ の値を求めます。

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$

ここに、$\alpha + \beta = \frac{5}{3}$、$\alpha \beta = 1$ を代入すると、

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\frac{5}{3}}{1} = \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

$\alpha + \beta = \frac{5}{3}$

$\alpha \beta = 1$

$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{7}{9}$

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{5}{3}$