実数全体を全体集合とする。部分集合Aを $A = \{x | x \leq -1, 8 < x\}$ 、部分集合Bを $B = \{x | x > 3\}$ とする。このとき、集合 $A \cup B$ に含まれる整数は全部で何個あるか？ただし、$\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合を表す。

1. 問題の内容

実数全体を全体集合とする。部分集合Aを $A = \{x | x \leq -1, 8 < x\}$ 、部分集合Bを $B = \{x | x > 3\}$ とする。このとき、集合 $A \cup B$ に含まれる整数は全部で何個あるか？ただし、$\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合を表す。

2. 解き方の手順

まず、$A$ に含まれる整数は、$x \leq -1$ より $x = -1, -2, -3, \dots$ 、$8 < x$ より $x = 9, 10, 11, \dots$ である。

次に、$B$ に含まれる整数は、$x > 3$ より $x = 4, 5, 6, \dots$ である。

$A \cup B$ に含まれる整数は、集合Aと集合Bに含まれる整数を合わせたものである。

$A \cup B = \{x | x \leq -1\} \cup \{x | x > 3\}$

$\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合なので、

$\overline{A \cup B} = \{x | -1 < x \leq 3\}$ となる。

$\overline{A \cup B}$ に含まれる整数は、$x = 0, 1, 2, 3$ である。

したがって、$\overline{A \cup B}$ に含まれる整数の個数は4個である。

3. 最終的な答え

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