(1) 関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 1$ (ただし $x \geq 1$) の最小値を $g(a)$ とする。 (i) $g(a)$ を $a$ で表せ。 (ii) $g(a)$ の最大値を求めよ。 (2) 関数 $y = x^2 - 2(a-1)x - a^2 - a + 1$ (ただし $x \geq 1$) の最小値を $m$ とする。 (i) $m$ を $a$ の式で表せ。 (ii) $a$ を変化させたときの $m$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 1$ (ただし $x \geq 1$) の最小値を $g(a)$ とする。

(i) $g(a)$ を $a$ で表せ。

(ii) $g(a)$ の最大値を求めよ。

(2) 関数 $y = x^2 - 2(a-1)x - a^2 - a + 1$ (ただし $x \geq 1$) の最小値を $m$ とする。

(i) $m$ を $a$ の式で表せ。

(ii) $a$ を変化させたときの $m$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

(i) $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 1 = (x-a)^2 - a^2 + 2a + 1$ と平方完成する。

軸は $x = a$ である。

$a < 1$ のとき、$x \geq 1$ で $f(x)$ は単調減少なので、$x=1$ で最小となる。

$g(a) = f(1) = 1^2 - 2a(1) + 2a + 1 = 1 - 2a + 2a + 1 = 2$

$a \geq 1$ のとき、$x = a$ で最小となる。

$g(a) = f(a) = -a^2 + 2a + 1$

よって、

$g(a) = \begin{cases}

2 & (a < 1) \\

-a^2 + 2a + 1 & (a \geq 1)

\end{cases}$

(ii) $a < 1$ のとき、$g(a) = 2$

$a \geq 1$ のとき、$g(a) = -a^2 + 2a + 1 = -(a^2 - 2a) + 1 = -(a^2 - 2a + 1) + 1 + 1 = -(a-1)^2 + 2$

$a \geq 1$ における $g(a)$ の最大値は $a = 1$ のとき $2$ である。

したがって、$g(a)$ の最大値は $2$ である。

(2)

(i) $y = x^2 - 2(a-1)x - a^2 - a + 1 = (x - (a-1))^2 - (a-1)^2 - a^2 - a + 1 = (x - (a-1))^2 - (a^2 - 2a + 1) - a^2 - a + 1 = (x - (a-1))^2 - 2a^2 + a$

軸は $x = a-1$ である。

$a-1 < 1$ つまり $a < 2$ のとき、$x \geq 1$ で $y$ は単調減少なので、$x = 1$ で最小となる。

$m = 1^2 - 2(a-1)(1) - a^2 - a + 1 = 1 - 2a + 2 - a^2 - a + 1 = -a^2 - 3a + 4$

$a-1 \geq 1$ つまり $a \geq 2$ のとき、$x = a-1$ で最小となる。

$m = -2a^2 + a$

よって、

$m = \begin{cases}

-a^2 - 3a + 4 & (a < 2) \\

-2a^2 + a & (a \geq 2)

\end{cases}$

(ii) $a < 2$ のとき、$m = -a^2 - 3a + 4 = -(a^2 + 3a) + 4 = -(a^2 + 3a + (3/2)^2) + 4 + (3/2)^2 = -(a + 3/2)^2 + 4 + 9/4 = -(a + 3/2)^2 + 25/4$

$a < 2$ における $m$ の最大値は $a = -3/2$ のとき $25/4 = 6.25$ である。

$a \geq 2$ のとき、$m = -2a^2 + a = -2(a^2 - a/2) = -2(a^2 - a/2 + (1/4)^2) + 2(1/4)^2 = -2(a - 1/4)^2 + 2(1/16) = -2(a - 1/4)^2 + 1/8$

$a \geq 2$ における $m$ の最大値は $a = 2$ のとき $-2(2)^2 + 2 = -8 + 2 = -6$ である。

したがって、$m$ の最大値は $25/4$ である。

3. 最終的な答え

(1)

(i) $g(a) = \begin{cases}

2 & (a < 1) \\

-a^2 + 2a + 1 & (a \geq 1)

\end{cases}$

(ii) $2$

(2)

(i) $m = \begin{cases}

-a^2 - 3a + 4 & (a < 2) \\

-2a^2 + a & (a \geq 2)

\end{cases}$

(ii) $\frac{25}{4}$