$a > 0$ の条件下で、$(x+a)(x+b)^2$ を展開したときの $x^2$ の係数が 0 であり、$x$ の係数が $-3$ である。このとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a > 0$ の条件下で、$(x+a)(x+b)^2$ を展開したときの $x^2$ の係数が 0 であり、$x$ の係数が $-3$ である。このとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$(x+a)(x+b)^2$ を展開します。

$(x+a)(x+b)^2 = (x+a)(x^2 + 2bx + b^2)$

$= x(x^2 + 2bx + b^2) + a(x^2 + 2bx + b^2)$

$= x^3 + 2bx^2 + b^2x + ax^2 + 2abx + ab^2$

$= x^3 + (2b+a)x^2 + (b^2+2ab)x + ab^2$

$x^2$ の係数は $2b+a$ なので、$2b+a = 0$ です。

$x$ の係数は $b^2+2ab$ なので、$b^2+2ab = -3$ です。

$2b+a = 0$ より、 $a = -2b$ です。これを $b^2+2ab = -3$ に代入します。

$b^2 + 2(-2b)b = -3$

$b^2 - 4b^2 = -3$

$-3b^2 = -3$

$b^2 = 1$

$b = \pm 1$

$a > 0$ なので、$a = -2b > 0$ となります。したがって、$b < 0$ であり、$b = -1$ です。

$b = -1$ を $a = -2b$ に代入すると、$a = -2(-1) = 2$ となります。

よって、$a = 2$, $b = -1$ です。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -1$