与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$ と $b$ の値を求めます。 問題は以下の2つです。 (1) $\frac{2x-1}{(x+1)(x+2)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2}$ (2) $\frac{3x-5}{(2x-1)(x+3)} = \frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3}$

1. 問題の内容

与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$ と $b$ の値を求めます。 問題は以下の2つです。

(1) $\frac{2x-1}{(x+1)(x+2)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2}$

(2) $\frac{3x-5}{(2x-1)(x+3)} = \frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3}$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた等式の右辺を通分します。

$\frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2) + b(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{(a+b)x + (2a+b)}{(x+1)(x+2)}$

したがって、

$\frac{2x-1}{(x+1)(x+2)} = \frac{(a+b)x + (2a+b)}{(x+1)(x+2)}$

分子を比較すると、次の連立方程式が得られます。

$a+b = 2$

$2a+b = -1$

上の式から下の式を引くと $-a = 3$ より $a = -3$。

$a+b=2$ に代入すると $-3+b=2$ より $b = 5$。

(2)

与えられた等式の右辺を通分します。

$\frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3} = \frac{a(x+3) + b(2x-1)}{(2x-1)(x+3)} = \frac{(a+2b)x + (3a-b)}{(2x-1)(x+3)}$

したがって、

$\frac{3x-5}{(2x-1)(x+3)} = \frac{(a+2b)x + (3a-b)}{(2x-1)(x+3)}$

分子を比較すると、次の連立方程式が得られます。

$a+2b = 3$

$3a-b = -5$

上の式を3倍すると $3a + 6b = 9$

下の式を引くと $7b = 14$ より $b = 2$。

$a+2b=3$ に代入すると $a+4=3$ より $a=-1$。

3. 最終的な答え

(1) $a = -3$, $b = 5$

(2) $a = -1$, $b = 2$