問題は、$(x^2 + 1)(y^2 + 4) - (xy + 2)^2 = (ax + by)^2$ が成り立つときの定数 $a, b$ の値を求める問題です。ただし、$a > 0$ とします。

1. 問題の内容

問題は、$(x^2 + 1)(y^2 + 4) - (xy + 2)^2 = (ax + by)^2$ が成り立つときの定数 $a, b$ の値を求める問題です。ただし、$a > 0$ とします。

2. 解き方の手順

まず、左辺を展開して整理します。

$(x^2 + 1)(y^2 + 4) - (xy + 2)^2 = x^2y^2 + 4x^2 + y^2 + 4 - (x^2y^2 + 4xy + 4)$

$= x^2y^2 + 4x^2 + y^2 + 4 - x^2y^2 - 4xy - 4$

$= 4x^2 - 4xy + y^2$

次に、整理された式が $(ax + by)^2$ に等しいことから、

$4x^2 - 4xy + y^2 = (ax + by)^2$

$4x^2 - 4xy + y^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2$

両辺の係数を比較すると、以下のようになります。

$x^2$ の係数: $a^2 = 4$

$xy$ の係数: $2ab = -4$

$y^2$ の係数: $b^2 = 1$

$a^2 = 4$ より、$a = \pm 2$ ですが、$a > 0$ より、$a = 2$ となります。

$b^2 = 1$ より、$b = \pm 1$ です。

$2ab = -4$ に $a = 2$ を代入すると、$4b = -4$ となり、$b = -1$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -1$