$a, b, p$ は定数で、$a \ne 0$ とする。2次関数 $y=ax^2 + 12x - b$ のグラフを点 $(0, 4)$ に関して対称移動し、さらに、$x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動すると、2次関数 $y=3x^2 + 6x + 1$ のグラフに重なる。このとき、$a, b, p$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a, b, p$ は定数で、$a \ne 0$ とする。2次関数 $y=ax^2 + 12x - b$ のグラフを点 $(0, 4)$ に関して対称移動し、さらに、$x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動すると、2次関数 $y=3x^2 + 6x + 1$ のグラフに重なる。このとき、$a, b, p$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y=ax^2 + 12x - b$ を点 $(0, 4)$ に関して対称移動させる。

点対称移動後のグラフの式を $y'$ とする。点 $(x, y)$ が点 $(0, 4)$ に関して点対称な点を $(x', y')$ とすると、

$x' = -x$

$y' = 8 - y$

よって、$x = -x'$、$y = 8 - y'$ であるから、

$8 - y' = a(-x')^2 + 12(-x') - b$

$8 - y' = ax'^2 - 12x' - b$

$y' = -ax'^2 + 12x' + 8 + b$

次に、このグラフを $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動させる。

平行移動後のグラフの式を $y''$ とする。

$y'' = -a(x'' - p)^2 + 12(x'' - p) + 8 + b - 2$

$y'' = -a(x''^2 - 2px'' + p^2) + 12x'' - 12p + 6 + b$

$y'' = -ax''^2 + (2ap + 12)x'' - ap^2 - 12p + 6 + b$

これが $y=3x^2 + 6x + 1$ と一致するので、

$-a = 3$

$2ap + 12 = 6$

$-ap^2 - 12p + 6 + b = 1$

これらの式を解く。

まず、$-a = 3$ より $a = -3$

次に、$2ap + 12 = 6$ に $a = -3$ を代入すると、

$-6p + 12 = 6$

$-6p = -6$

$p = 1$

最後に、$-ap^2 - 12p + 6 + b = 1$ に $a = -3$, $p = 1$ を代入すると、

$-(-3)(1)^2 - 12(1) + 6 + b = 1$

$3 - 12 + 6 + b = 1$

$-3 + b = 1$

$b = 4$

したがって、$a = -3$, $b = 4$, $p = 1$

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = 4$, $p = 1$