放物線 $y = x^2 - 3x + 1$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線が $y = x^2 + 5x + 2$ であるとき、$p$ と $q$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x + 1$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線が $y = x^2 + 5x + 2$ であるとき、$p$ と $q$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 3x + 1$ を平方完成する。

$y = x^2 - 3x + 1 = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 1 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 1 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}$

頂点は $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{4})$ である。

次に、$y = x^2 + 5x + 2$ を平方完成する。

$y = x^2 + 5x + 2 = (x + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 + 2 = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 2 = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{17}{4}$

頂点は $(-\frac{5}{2}, -\frac{17}{4})$ である。

平行移動によって、頂点 $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{4})$ が頂点 $(-\frac{5}{2}, -\frac{17}{4})$ に移るから、

$x$ 軸方向の移動は $-\frac{5}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{8}{2} = -4$

$y$ 軸方向の移動は $-\frac{17}{4} - (-\frac{5}{4}) = -\frac{17}{4} + \frac{5}{4} = -\frac{12}{4} = -3$

したがって、$p = -4$、$q = -3$ である。

3. 最終的な答え

$x$ 軸方向に $-4$、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した。