全体集合 $U$ が10以下の自然数全体であるとき、部分集合 $A = \{2, 3, n^2 - 3n + 8\}$ と $B = \{1, n+1, 2n+2, n^3+2\}$ が与えられています。$A \cap B = \{3, 6\}$ となるような自然数 $n$ を求め、そのときの $A \cup B$ と $\overline{A} \cap B$ を求める問題です。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ が10以下の自然数全体であるとき、部分集合 $A = \{2, 3, n^2 - 3n + 8\}$ と $B = \{1, n+1, 2n+2, n^3+2\}$ が与えられています。$A \cap B = \{3, 6\}$ となるような自然数 $n$ を求め、そのときの $A \cup B$ と $\overline{A} \cap B$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap B = \{3, 6\}$ より、集合 $A$ と $B$ はともに3と6を含みます。

$A$ は $2, 3, n^2-3n+8$ を含むので、$n^2 - 3n + 8$ が 6 に等しい可能性があります。

$n^2 - 3n + 8 = 6$ を解くと、

$n^2 - 3n + 2 = 0$

$(n-1)(n-2) = 0$

$n = 1, 2$

$n=1$ のとき、$A = \{2, 3, 1^2 - 3(1) + 8\} = \{2, 3, 6\}$ であり、$B = \{1, 1+1, 2(1)+2, 1^3+2\} = \{1, 2, 4, 3\}$ です。このとき、$A \cap B = \{2, 3\}$ となり、$A \cap B = \{3, 6\}$ に矛盾します。

$n=2$ のとき、$A = \{2, 3, 2^2 - 3(2) + 8\} = \{2, 3, 6\}$ であり、$B = \{1, 2+1, 2(2)+2, 2^3+2\} = \{1, 3, 6, 10\}$ です。このとき、$A \cap B = \{3, 6\}$ となり、条件を満たします。したがって、$n=2$ です。

$n=2$ のとき、$A = \{2, 3, 6\}$ であり、$B = \{1, 3, 6, 10\}$ です。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 6, 10\}$ となります。

全体集合 $U$ は 10 以下の自然数なので、$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ です。

$A = \{2, 3, 6\}$ なので、A の補集合 $\overline{A} = U - A = \{1, 4, 5, 7, 8, 9, 10\}$ です。

$\overline{A} \cap B = \{1, 3, 6, 10\} \cap \{1, 4, 5, 7, 8, 9, 10\} = \{1, 10\}$ となります。

3. 最終的な答え

$n = 2$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 6, 10\}$

$\overline{A} \cap B = \{1, 10\}$