2次方程式 $2x^2 - (3a+5)x + a^2 + 4a + 3 = 0$ が与えられている。（$a$ は定数） (1) $x = -1$ がこの方程式の解であるとき、$a$ の値を求めよ。 (2) 方程式の解を $a$ を用いて表せ。 (3) 方程式のすべての解が不等式 $3a - 5 < 2x < 3a + 5$ を満たす $x$ の範囲内にあるとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - (3a+5)x + a^2 + 4a + 3 = 0$ が与えられている。（$a$ は定数）

(1) $x = -1$ がこの方程式の解であるとき、$a$ の値を求めよ。

(2) 方程式の解を $a$ を用いて表せ。

(3) 方程式のすべての解が不等式 $3a - 5 < 2x < 3a + 5$ を満たす $x$ の範囲内にあるとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x = -1$ を与えられた方程式に代入する。

$2(-1)^2 - (3a+5)(-1) + a^2 + 4a + 3 = 0$

$2 + 3a + 5 + a^2 + 4a + 3 = 0$

$a^2 + 7a + 10 = 0$

$(a+2)(a+5) = 0$

したがって、$a = -2$ または $a = -5$

(2) 与えられた2次方程式を解く。

$2x^2 - (3a+5)x + a^2 + 4a + 3 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{(3a+5) \pm \sqrt{(3a+5)^2 - 4(2)(a^2+4a+3)}}{2(2)}$

$x = \frac{(3a+5) \pm \sqrt{9a^2 + 30a + 25 - 8a^2 - 32a - 24}}{4}$

$x = \frac{(3a+5) \pm \sqrt{a^2 - 2a + 1}}{4}$

$x = \frac{(3a+5) \pm \sqrt{(a-1)^2}}{4}$

$x = \frac{(3a+5) \pm (a-1)}{4}$

$x = \frac{3a+5+a-1}{4} = \frac{4a+4}{4} = a+1$

$x = \frac{3a+5-(a-1)}{4} = \frac{2a+6}{4} = \frac{a+3}{2}$

したがって、解は $x = a+1$ および $x = \frac{a+3}{2}$

(3) 解が $3a - 5 < 2x < 3a + 5$ を満たす。

$3a - 5 < 2(a+1) < 3a + 5$

$3a - 5 < 2a + 2 < 3a + 5$

$3a - 5 < 2a + 2$ より $a < 7$

$2a + 2 < 3a + 5$ より $-3 < a$

$-3 < a < 7$

$3a - 5 < 2(\frac{a+3}{2}) < 3a + 5$

$3a - 5 < a + 3 < 3a + 5$

$3a - 5 < a + 3$ より $2a < 8$ つまり $a < 4$

$a + 3 < 3a + 5$ より $-2 < 2a$ つまり $-1 < a$

$-1 < a < 4$

$x = a+1$ と $x = \frac{a+3}{2}$ の大小関係を調べる。

$a+1 - \frac{a+3}{2} = \frac{2a+2-a-3}{2} = \frac{a-1}{2}$

$a>1$ なら $a+1 > \frac{a+3}{2}$

$a<1$ なら $a+1 < \frac{a+3}{2}$

$a=1$ なら $a+1 = \frac{a+3}{2} = 2$

$3a-5 < a+1 < 3a+5$ かつ $3a-5 < \frac{a+3}{2} < 3a+5$ を満たす必要がある。

つまり $-1 < a < 4$ と $-3 < a < 7$ を満たす必要がある。

したがって $-1 < a < 4$

3. 最終的な答え

(1) $a = -2, -5$

(2) $x = a+1, \frac{a+3}{2}$

(3) $-1 < a < 4$