関数 $y = \sin^2\theta + \sqrt{2}\cos\theta + 1$ の $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2\theta + \sqrt{2}\cos\theta + 1$ の $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2\theta$ を $\cos\theta$ を用いて表します。$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ であるから、与えられた関数は

$$y = 1 - \cos^2\theta + \sqrt{2}\cos\theta + 1 = -\cos^2\theta + \sqrt{2}\cos\theta + 2$$

と書き換えられます。

次に、$t = \cos\theta$ と置きます。$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$0 \le \cos\theta \le 1$ となるので、$0 \le t \le 1$ です。

したがって、関数は $y = -t^2 + \sqrt{2}t + 2$ となります。これを平方完成すると

$$y = -(t^2 - \sqrt{2}t) + 2 = -\left(t - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 2 = -\left(t - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{5}{2}$$

となります。

$0 \le t \le 1$ の範囲で $y$ の最大値と最小値を求めます。

$t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$\theta = \pm \frac{\pi}{4}$ であり、$y$ は最大値 $\frac{5}{2}$ を取ります。

$t = 0$ のとき、$\theta = \pm \frac{\pi}{2}$ であり、$y = 2$ となります。

$t = 1$ のとき、$\theta = 0$ であり、$y = -1 + \sqrt{2} + 2 = \sqrt{2} + 1$ となります。$\sqrt{2} + 1 = 2.414...$ なので、$t=0$ の方が小さいです。

したがって、

$t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$\theta = \pm \frac{\pi}{4}$ であり、$y$ は最大値 $\frac{5}{2}$ を取ります。

$t = 0$ のとき、$\theta = \pm \frac{\pi}{2}$ であり、$y$ は最小値 $2$ を取ります。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{5}{2}$ ($\theta = \pm \frac{\pi}{4}$ のとき)

最小値: $2$ ($\theta = \pm \frac{\pi}{2}$ のとき)