与えられた表は9人の生徒の英語と数学のテストの点数を示している。 (1)生徒5の英語の点数Aを求め、英語の点数の分散Bを求める。また、英語と数学の点数の相関係数を求める。 (2) 英語と数学の得点の散布図として適切なものを選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

与えられた表は9人の生徒の英語と数学のテストの点数を示している。

(1)生徒5の英語の点数Aを求め、英語の点数の分散Bを求める。また、英語と数学の点数の相関係数を求める。

(2) 英語と数学の得点の散布図として適切なものを選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1)

生徒5の英語の点数Aを求める。英語の平均点が14点なので、次の式が成り立つ。

$\frac{9 + 20 + 11 + 15 + A + 15 + 13 + 16 + 11}{9} = 14$

$110 + A = 126$

$A = 16$

したがって、生徒5の英語の点数Aは16点である。

次に、英語の点数の分散Bを求める。分散は各データの平均からの偏差の二乗の平均である。

英語の平均点は14点である。各生徒の偏差の二乗は次の通り。

$(9-14)^2 = 25$

$(20-14)^2 = 36$

$(11-14)^2 = 9$

$(15-14)^2 = 1$

$(16-14)^2 = 4$

$(15-14)^2 = 1$

$(13-14)^2 = 1$

$(16-14)^2 = 4$

$(11-14)^2 = 9$

分散Bはこれらの平均なので、

$B = \frac{25 + 36 + 9 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 + 9}{9} = \frac{90}{9} = 10$

したがって、英語の分散Bは10である。

次に、英語と数学の相関係数を求める。

相関係数 $r$ は、

$r = \frac{共分散}{\sqrt{英語の分散} \sqrt{数学の分散}}$

で求められる。

英語の分散は10、数学の分散は10である。

共分散は、各生徒の英語の偏差と数学の偏差の積の平均である。

生徒1: $(9-14)(14-15) = (-5)(-1) = 5$

生徒2: $(20-14)(20-15) = (6)(5) = 30$

生徒3: $(11-14)(8-15) = (-3)(-7) = 21$

生徒4: $(15-14)(14-15) = (1)(-1) = -1$

生徒5: $(16-14)(17-15) = (2)(2) = 4$

生徒6: $(15-14)(18-15) = (1)(3) = 3$

生徒7: $(13-14)(14-15) = (-1)(-1) = 1$

生徒8: $(16-14)(15-15) = (2)(0) = 0$

生徒9: $(11-14)(15-15) = (-3)(0) = 0$

共分散 $= \frac{5 + 30 + 21 - 1 + 4 + 3 + 1 + 0 + 0}{9} = \frac{63}{9} = 7$

$r = \frac{7}{\sqrt{10} \sqrt{10}} = \frac{7}{10} = 0.7$

(2)

散布図は、英語の点数と数学の点数の分布を示す。

英語の平均点は14、数学の平均点は15である。

散布図を見ると、英語の点数が高いほど数学の点数が高い傾向にある。

また、相関係数が0.7なので正の相関がある。

生徒2の(20,20)はかなり高い値をとっている。

これらの条件を満たすのは、選択肢①である。

3. 最終的な答え

(1) A = 16, B = 10, 相関係数 = 0.7

(2) 11 = ①