与えられた式 $(a+2b)^2(a-2b)^2$ を展開して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+2b)^2(a-2b)^2$ を展開して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、$(a+2b)^2$と$(a-2b)^2$をそれぞれ展開します。

$(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$

$(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$

したがって、与えられた式は

$(a^2 + 4ab + 4b^2)(a^2 - 4ab + 4b^2)$

となります。

ここで、$A = a^2 + 4b^2$、$B = 4ab$ とおくと、

$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$

となることを利用します。

$A^2 = (a^2 + 4b^2)^2 = (a^2)^2 + 2(a^2)(4b^2) + (4b^2)^2 = a^4 + 8a^2b^2 + 16b^4$

$B^2 = (4ab)^2 = 16a^2b^2$

したがって、

$(a^2 + 4ab + 4b^2)(a^2 - 4ab + 4b^2) = (a^2 + 4b^2)^2 - (4ab)^2 = (a^4 + 8a^2b^2 + 16b^4) - 16a^2b^2 = a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$

別の方法として、

$(a+2b)(a-2b) = a^2 - 4b^2$ であることを利用すると、

$(a+2b)^2(a-2b)^2 = [(a+2b)(a-2b)]^2 = (a^2 - 4b^2)^2$

$(a^2 - 4b^2)^2 = (a^2)^2 - 2(a^2)(4b^2) + (4b^2)^2 = a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$

3. 最終的な答え

$a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$