$K_n$ を以下の式で定義します。 $K_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^{2k-1}}{3^{k+2}}$ この和を計算します。

1. 問題の内容

$K_n$ を以下の式で定義します。

$K_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^{2k-1}}{3^{k+2}}$

この和を計算します。

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。

$K_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^{2k-1}}{3^{k+2}} = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^{2k} \cdot 2^{-1}}{3^{k} \cdot 3^{2}} = \sum_{k=0}^{n} \frac{(2^2)^{k} \cdot \frac{1}{2}}{3^{k} \cdot 9} = \sum_{k=0}^{n} \frac{4^{k}}{2 \cdot 9 \cdot 3^{k}} = \frac{1}{18} \sum_{k=0}^{n} \frac{4^{k}}{3^{k}} = \frac{1}{18} \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{4}{3}\right)^{k}$

これは等比数列の和の形になっています。等比数列の和の公式は、

$\sum_{k=0}^{n} r^{k} = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}$

です。 今回の場合、$r = \frac{4}{3}$ です。

したがって、

$K_n = \frac{1}{18} \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{4}{3}\right)^{k} = \frac{1}{18} \cdot \frac{1-\left(\frac{4}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{4}{3}} = \frac{1}{18} \cdot \frac{1-\left(\frac{4}{3}\right)^{n+1}}{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{18} \cdot (-3) \left(1-\left(\frac{4}{3}\right)^{n+1}\right) = -\frac{1}{6} \left(1-\left(\frac{4}{3}\right)^{n+1}\right) = \frac{1}{6} \left(\left(\frac{4}{3}\right)^{n+1} - 1\right)$

3. 最終的な答え

$K_n = \frac{1}{6}\left(\left(\frac{4}{3}\right)^{n+1} - 1\right)$