次の2つの不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。 (1) $x^2 + x + 1 \ge 3x$ (2) $x^2 - 2x + 2 > 0$

1. 問題の内容

次の2つの不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

(1) $x^2 + x + 1 \ge 3x$

(2) $x^2 - 2x + 2 > 0$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた不等式を変形します。

$x^2 + x + 1 \ge 3x$

$x^2 - 2x + 1 \ge 0$

$(x - 1)^2 \ge 0$

実数 $x$ に対して、$(x - 1)^2$ は常に0以上となるため、この不等式は常に成立します。

等号が成り立つのは、$x - 1 = 0$ のとき、つまり $x = 1$ のときです。

(2)

与えられた不等式を変形します。

$x^2 - 2x + 2 > 0$

$(x - 1)^2 + 1 > 0$

実数 $x$ に対して、$(x - 1)^2$ は常に0以上なので、$(x - 1)^2 + 1$ は常に1以上となり、0より大きいです。したがって、この不等式は常に成立します。

$(x-1)^2 + 1 > 0$ は常に成り立つため、等号は成立しません。

3. 最終的な答え

(1) 不等式 $x^2 + x + 1 \ge 3x$ は常に成立し、等号が成り立つのは $x = 1$ のときです。

(2) 不等式 $x^2 - 2x + 2 > 0$ は常に成立し、等号は成立しません。