不等式 $a^2 - ab + b^2 \geq a + b - 1$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 - ab + b^2 \geq a + b - 1$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式の左辺から右辺を引いた式を整理し、平方完成を目指します。

$a^2 - ab + b^2 - (a + b - 1) = a^2 - (b+1)a + b^2 - b + 1$

$a$ について平方完成を行います。

$a^2 - (b+1)a + b^2 - b + 1 = \left(a - \frac{b+1}{2}\right)^2 - \left(\frac{b+1}{2}\right)^2 + b^2 - b + 1$

$= \left(a - \frac{b+1}{2}\right)^2 - \frac{b^2 + 2b + 1}{4} + b^2 - b + 1$

$= \left(a - \frac{b+1}{2}\right)^2 + \frac{4b^2 - 4b + 4 - b^2 - 2b - 1}{4}$

$= \left(a - \frac{b+1}{2}\right)^2 + \frac{3b^2 - 6b + 3}{4}$

$= \left(a - \frac{b+1}{2}\right)^2 + \frac{3(b^2 - 2b + 1)}{4}$

$= \left(a - \frac{b+1}{2}\right)^2 + \frac{3(b-1)^2}{4}$

ここで、$\left(a - \frac{b+1}{2}\right)^2 \geq 0$ であり、$\frac{3(b-1)^2}{4} \geq 0$ です。

したがって、

$\left(a - \frac{b+1}{2}\right)^2 + \frac{3(b-1)^2}{4} \geq 0$

が成り立ちます。

よって、$a^2 - ab + b^2 \geq a + b - 1$ が証明されました。

等号が成り立つのは、

$\left(a - \frac{b+1}{2}\right)^2 = 0$ かつ $\frac{3(b-1)^2}{4} = 0$ が成り立つときです。

$\frac{3(b-1)^2}{4} = 0$ より、$b = 1$

$\left(a - \frac{b+1}{2}\right)^2 = 0$ に $b = 1$ を代入すると、

$\left(a - \frac{1+1}{2}\right)^2 = (a - 1)^2 = 0$ より、$a = 1$

3. 最終的な答え

$a^2 - ab + b^2 \geq a + b - 1$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$a = 1$ かつ $b = 1$ のとき。