次の不等式を証明します。 $(x^4 + y^4)(x^2 + y^2) \ge (x^3 + y^3)^2$

1. 問題の内容

次の不等式を証明します。

$(x^4 + y^4)(x^2 + y^2) \ge (x^3 + y^3)^2$

2. 解き方の手順

不等式の両辺の差を計算し、それが0以上であることを示します。

左辺を展開すると：

$(x^4 + y^4)(x^2 + y^2) = x^6 + x^4y^2 + x^2y^4 + y^6$

右辺を展開すると：

$(x^3 + y^3)^2 = (x^3)^2 + 2(x^3)(y^3) + (y^3)^2 = x^6 + 2x^3y^3 + y^6$

差を計算すると：

$x^6 + x^4y^2 + x^2y^4 + y^6 - (x^6 + 2x^3y^3 + y^6) = x^4y^2 + x^2y^4 - 2x^3y^3 = x^2y^2(x^2 - 2xy + y^2) = x^2y^2(x-y)^2$

$x^2y^2(x-y)^2$ は常に0以上です。

なぜなら、$x^2 \ge 0$, $y^2 \ge 0$, $(x-y)^2 \ge 0$ であるからです。したがって、$x^2y^2(x-y)^2 \ge 0$ が成り立ちます。

したがって、$(x^4 + y^4)(x^2 + y^2) - (x^3 + y^3)^2 \ge 0$ となり、

$(x^4 + y^4)(x^2 + y^2) \ge (x^3 + y^3)^2$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$(x^4 + y^4)(x^2 + y^2) \ge (x^3 + y^3)^2$