$a > 0$, $b > 0$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明します。 (1) $2\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{4a+b}$ (2) $\sqrt{\frac{a+b}{2}} \geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明します。

(1) $2\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{4a+b}$

(2) $\sqrt{\frac{a+b}{2}} \geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$

2. 解き方の手順

(1)

不等式の両辺は正なので、二乗しても大小関係は変わりません。

$(2\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 > (\sqrt{4a+b})^2$ を示します。

左辺を展開すると、

$(2\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = 4a + 4\sqrt{ab} + b$

右辺は、

$(\sqrt{4a+b})^2 = 4a+b$

したがって、

$4a + 4\sqrt{ab} + b > 4a+b$

$4\sqrt{ab} > 0$

$a>0, b>0$ より、$\sqrt{ab} > 0$ なので、$4\sqrt{ab}>0$ は常に成り立ちます。

よって、$2\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{4a+b}$ が成り立ちます。

(2)

不等式の両辺は正なので、二乗しても大小関係は変わりません。

$\left(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\right)^2 \geq \left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\right)^2$ を示します。

左辺は、

$\left(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\right)^2 = \frac{a+b}{2}$

右辺は、

$\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\right)^2 = \frac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}$

$\frac{a+b}{2} \geq \frac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}$ を示すために、両辺に4をかけます。

$2(a+b) \geq a+2\sqrt{ab}+b$

$2a+2b \geq a+2\sqrt{ab}+b$

$a-2\sqrt{ab}+b \geq 0$

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0$

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$ は常に0以上なので、不等式は成り立ちます。

したがって、$\sqrt{\frac{a+b}{2}} \geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{4a+b}$ は成り立つ。

(2) $\sqrt{\frac{a+b}{2}} \geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$ は成り立つ。