与えられた複数の分数式の加法・減法を行う問題です。 (1) $\frac{x^2-4}{x+1} + \frac{3}{x+1}$ (2) $\frac{x^2}{x-2} - \frac{4x-4}{x-2}$ (3) $\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x+2}$ (4) $\frac{3}{x(3-x)} + \frac{x}{3(x-3)}$ (5) $\frac{4}{x^2-4} + \frac{1}{x^2+5x+6}$ (6) $\frac{x-1}{x^2+3x+2} - \frac{x-3}{x^2+4x+3}$

はい、承知いたしました。次の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた複数の分数式の加法・減法を行う問題です。

(1) $\frac{x^2-4}{x+1} + \frac{3}{x+1}$

(2) $\frac{x^2}{x-2} - \frac{4x-4}{x-2}$

(3) $\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

(4) $\frac{3}{x(3-x)} + \frac{x}{3(x-3)}$

(5) $\frac{4}{x^2-4} + \frac{1}{x^2+5x+6}$

(6) $\frac{x-1}{x^2+3x+2} - \frac{x-3}{x^2+4x+3}$

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で計算します。

1. 分母が同じ場合は、分子を計算し、約分できる場合は約分する。

2. 分母が異なる場合は、通分してから分子を計算し、約分できる場合は約分する。

3. 必要に応じて因数分解を行う。

(1)

$\frac{x^2-4}{x+1} + \frac{3}{x+1} = \frac{x^2-4+3}{x+1} = \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1$

(2)

$\frac{x^2}{x-2} - \frac{4x-4}{x-2} = \frac{x^2 - (4x-4)}{x-2} = \frac{x^2-4x+4}{x-2} = \frac{(x-2)^2}{x-2} = x-2$

(3)

$\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x+2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+2)} - \frac{1(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2+2x - (x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2+2x-x-1}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2+x-1}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2+x-1}{x^2+3x+2}$

(4)

$\frac{3}{x(3-x)} + \frac{x}{3(x-3)} = \frac{-3}{x(x-3)} + \frac{x}{3(x-3)} = \frac{-3 \cdot 3}{3x(x-3)} + \frac{x \cdot x}{3x(x-3)} = \frac{-9 + x^2}{3x(x-3)} = \frac{x^2-9}{3x(x-3)} = \frac{(x-3)(x+3)}{3x(x-3)} = \frac{x+3}{3x}$

(5)

$\frac{4}{x^2-4} + \frac{1}{x^2+5x+6} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{4(x+3)}{(x-2)(x+2)(x+3)} + \frac{1(x-2)}{(x-2)(x+2)(x+3)} = \frac{4x+12 + x-2}{(x-2)(x+2)(x+3)} = \frac{5x+10}{(x-2)(x+2)(x+3)} = \frac{5(x+2)}{(x-2)(x+2)(x+3)} = \frac{5}{(x-2)(x+3)} = \frac{5}{x^2+x-6}$

(6)

$\frac{x-1}{x^2+3x+2} - \frac{x-3}{x^2+4x+3} = \frac{x-1}{(x+1)(x+2)} - \frac{x-3}{(x+1)(x+3)} = \frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)} - \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{x^2+2x-3 - (x^2-x-6)}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{x^2+2x-3 - x^2 + x + 6}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{3x+3}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{3(x+1)}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{3}{(x+2)(x+3)} = \frac{3}{x^2+5x+6}$

3. 最終的な答え

(1) $x-1$

(2) $x-2$

(3) $\frac{x^2+x-1}{x^2+3x+2}$

(4) $\frac{x+3}{3x}$

(5) $\frac{5}{x^2+x-6}$

(6) $\frac{3}{x^2+5x+6}$