(1) 次の方程式を解け。 (i) $x^2 + x - 2 = 0$ (ii) $x^2 - 2x - 4 = 0$ (iii) $x^4 - 6x^2 + 1 = 0$ (iv) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 24$ (2) 2次方程式 $x^2 + 2x - k = 0$ の解を判別せよ。

はい、承知いたしました。画像に書かれた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) 次の方程式を解け。

(i) $x^2 + x - 2 = 0$

(ii) $x^2 - 2x - 4 = 0$

(iii) $x^4 - 6x^2 + 1 = 0$

(iv) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 24$

(2) 2次方程式 $x^2 + 2x - k = 0$ の解を判別せよ。

2. 解き方の手順

(1)(i)

$x^2 + x - 2 = 0$ を因数分解すると、$(x+2)(x-1)=0$。したがって、$x = -2, 1$。

(1)(ii)

$x^2 - 2x - 4 = 0$ を解の公式を用いて解く。解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。

この問題では、$a=1, b=-2, c=-4$ なので、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4+16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$。

(1)(iii)

$x^4 - 6x^2 + 1 = 0$

$x^2 = t$ とおくと、$t^2 - 6t + 1 = 0$。

$t = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36-4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$。

$x^2 = 3 \pm 2\sqrt{2}$ より、$x = \pm \sqrt{3 \pm 2\sqrt{2}}$。

ここで、$(\sqrt{2} \pm 1)^2 = 2 \pm 2\sqrt{2} + 1 = 3 \pm 2\sqrt{2}$ より、$x = \pm (\sqrt{2} \pm 1)$。

したがって、$x = \sqrt{2} + 1, \sqrt{2} - 1, -\sqrt{2} - 1, -\sqrt{2} + 1$。

(1)(iv)

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 24$

$(x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = 24$

$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = 24$

$t = x^2 + 5x$ とおくと、 $(t+4)(t+6) = 24$

$t^2 + 10t + 24 = 24$

$t^2 + 10t = 0$

$t(t+10) = 0$

$t = 0, -10$

$x^2 + 5x = 0$ のとき、$x(x+5)=0$ より $x=0, -5$。

$x^2 + 5x = -10$ のとき、$x^2 + 5x + 10 = 0$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(10)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25-40}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{-15}}{2} = \frac{-5 \pm i\sqrt{15}}{2}$

したがって、$x = 0, -5, \frac{-5 + i\sqrt{15}}{2}, \frac{-5 - i\sqrt{15}}{2}$。

(2)

$x^2 + 2x - k = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-k) = 4 + 4k$。

$D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。$4+4k>0$ より、$k>-1$。

$D = 0$ のとき、重解を持つ。$4+4k=0$ より、$k=-1$。

$D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。$4+4k<0$ より、$k<-1$。

3. 最終的な答え

(1)(i) $x = -2, 1$

(1)(ii) $x = 1 \pm \sqrt{5}$

(1)(iii) $x = \pm (\sqrt{2} \pm 1)$

(1)(iv) $x = 0, -5, \frac{-5 \pm i\sqrt{15}}{2}$

(2) $k > -1$ のとき異なる2つの実数解を持つ。

$k = -1$ のとき重解を持つ。

$k < -1$ のとき異なる2つの虚数解を持つ。