与えられた不等式を証明します。 (1) $\sqrt{7} + \sqrt{8} > \sqrt{5} + \sqrt{10}$ (2) $\sqrt{7} - \sqrt{6} > \sqrt{14} - \sqrt{13}$

1. 問題の内容

与えられた不等式を証明します。

(1) $\sqrt{7} + \sqrt{8} > \sqrt{5} + \sqrt{10}$

(2) $\sqrt{7} - \sqrt{6} > \sqrt{14} - \sqrt{13}$

2. 解き方の手順

(1)

両辺を2乗して比較します。

$(\sqrt{7} + \sqrt{8})^2 = 7 + 2\sqrt{56} + 8 = 15 + 2\sqrt{56}$

$(\sqrt{5} + \sqrt{10})^2 = 5 + 2\sqrt{50} + 10 = 15 + 2\sqrt{50}$

$\sqrt{56} > \sqrt{50}$ なので $2\sqrt{56} > 2\sqrt{50}$ となります。

よって、$15 + 2\sqrt{56} > 15 + 2\sqrt{50}$ が成り立ちます。

したがって、$(\sqrt{7} + \sqrt{8})^2 > (\sqrt{5} + \sqrt{10})^2$ となり、$\sqrt{7} + \sqrt{8} > \sqrt{5} + \sqrt{10}$ が証明されました。

(2)

両辺に $\sqrt{6} + \sqrt{14}$ を加えて

$\sqrt{7} - \sqrt{6} + \sqrt{6} + \sqrt{13} > \sqrt{14} - \sqrt{13} + \sqrt{6} + \sqrt{13}$

$\sqrt{7} + \sqrt{13} > \sqrt{14} + \sqrt{6}$

両辺を2乗して比較します。

$(\sqrt{7} + \sqrt{13})^2 = 7 + 2\sqrt{91} + 13 = 20 + 2\sqrt{91}$

$(\sqrt{14} + \sqrt{6})^2 = 14 + 2\sqrt{84} + 6 = 20 + 2\sqrt{84}$

$\sqrt{91} > \sqrt{84}$ なので $2\sqrt{91} > 2\sqrt{84}$ となります。

よって、$20 + 2\sqrt{91} > 20 + 2\sqrt{84}$ が成り立ちます。

したがって、$(\sqrt{7} + \sqrt{13})^2 > (\sqrt{14} + \sqrt{6})^2$ となり、$\sqrt{7} + \sqrt{13} > \sqrt{14} + \sqrt{6}$ が証明されました。

この不等式から $\sqrt{7} - \sqrt{6} > \sqrt{14} - \sqrt{13}$ が証明されます。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{7} + \sqrt{8} > \sqrt{5} + \sqrt{10}$ が証明されました。

(2) $\sqrt{7} - \sqrt{6} > \sqrt{14} - \sqrt{13}$ が証明されました。