4つの行列 $A = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 7 \\ 4 & 6 & -1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 0 & -5 \\ -7 & 0 \end{pmatrix}$ が与えられています。 (a) これらの行列の積の定義可能性について、それぞれの結果の行列のサイズを答えるか、積が定義できない場合は(0,0)を答えます。 (b) 積が定義できる行列の積を実際に計算します。

1. 問題の内容

4つの行列 $A = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 7 \\ 4 & 6 & -1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 0 & -5 \\ -7 & 0 \end{pmatrix}$ が与えられています。

(a) これらの行列の積の定義可能性について、それぞれの結果の行列のサイズを答えるか、積が定義できない場合は(0,0)を答えます。

(b) 積が定義できる行列の積を実際に計算します。

2. 解き方の手順

(a) 行列の積のサイズ判定

行列 $A$ が $m \times n$ 行列、行列 $B$ が $p \times q$ 行列であるとき、$n=p$ ならば積 $AB$ が定義でき、$AB$ は $m \times q$ 行列となります。そうでない場合、積 $AB$ は定義できません。

i. $A$ ($2 \times 1$) と $B$ ($1 \times 2$) の積 $AB$ は定義でき、$2 \times 2$ 行列となります。

ii. $B$ ($1 \times 2$) と $A$ ($2 \times 1$) の積 $BA$ は定義でき、$1 \times 1$ 行列となります。

iii. $A$ ($2 \times 1$) と $C$ ($2 \times 3$) の積 $AC$ は定義できません。(0,0)となります。

iv. $C$ ($2 \times 3$) と $A$ ($2 \times 1$) の積 $CA$ は定義できません。(0,0)となります。

v. $A$ ($2 \times 1$) と $D$ ($3 \times 2$) の積 $AD$ は定義できません。(0,0)となります。

vi. $D$ ($3 \times 2$) と $A$ ($2 \times 1$) の積 $DA$ は定義でき、$3 \times 1$ 行列となります。

vii. $B$ ($1 \times 2$) と $C$ ($2 \times 3$) の積 $BC$ は定義でき、$1 \times 3$ 行列となります。

viii. $C$ ($2 \times 3$) と $B$ ($1 \times 2$) の積 $CB$ は定義できません。(0,0)となります。

ix. $B$ ($1 \times 2$) と $D$ ($3 \times 2$) の積 $BD$ は定義できません。(0,0)となります。

x. $D$ ($3 \times 2$) と $B$ ($1 \times 2$) の積 $DB$ は定義できません。(0,0)となります。

xi. $C$ ($2 \times 3$) と $D$ ($3 \times 2$) の積 $CD$ は定義でき、$2 \times 2$ 行列となります。

xii. $D$ ($3 \times 2$) と $C$ ($2 \times 3$) の積 $DC$ は定義でき、$3 \times 3$ 行列となります。

(b) 行列の積の計算

i. $AB = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & -10 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$

ii. $BA = \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = (3 \times -2) + (5 \times 1) = -6 + 5 = (-1)$

vi. $DA = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 0 & -5 \\ -7 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-3 \times -2) + (-4 \times 1) \\ (0 \times -2) + (-5 \times 1) \\ (-7 \times -2) + (0 \times 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 14 \end{pmatrix}$

vii. $BC = \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & 0 & 7 \\ 4 & 6 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3 \times 9) + (5 \times 4) & (3 \times 0) + (5 \times 6) & (3 \times 7) + (5 \times -1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 + 20 & 0 + 30 & 21 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 47 & 30 & 16 \end{pmatrix}$

xi. $CD = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 7 \\ 4 & 6 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 0 & -5 \\ -7 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (9 \times -3) + (0 \times 0) + (7 \times -7) & (9 \times -4) + (0 \times -5) + (7 \times 0) \\ (4 \times -3) + (6 \times 0) + (-1 \times -7) & (4 \times -4) + (6 \times -5) + (-1 \times 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -27 + 0 - 49 & -36 + 0 + 0 \\ -12 + 0 + 7 & -16 - 30 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -76 & -36 \\ -5 & -46 \end{pmatrix}$

xii. $DC = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 0 & -5 \\ -7 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & 0 & 7 \\ 4 & 6 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-3 \times 9) + (-4 \times 4) & (-3 \times 0) + (-4 \times 6) & (-3 \times 7) + (-4 \times -1) \\ (0 \times 9) + (-5 \times 4) & (0 \times 0) + (-5 \times 6) & (0 \times 7) + (-5 \times -1) \\ (-7 \times 9) + (0 \times 4) & (-7 \times 0) + (0 \times 6) & (-7 \times 7) + (0 \times -1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -27 - 16 & 0 - 24 & -21 + 4 \\ 0 - 20 & 0 - 30 & 0 + 5 \\ -63 + 0 & 0 + 0 & -49 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -43 & -24 & -17 \\ -20 & -30 & 5 \\ -63 & 0 & -49 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(a)

1: 2, 2

2: 1, 1

3: 0, 0

4: 0, 0

5: 0, 0

6: 0, 0

7: 0, 0

8: 0, 0

9: 0, 0

10: 0, 0

11: 3, 1

12: 1, 3

13: 1, 3

14: 3, 2

15: 0, 0

16: 0, 0

17: 0, 0

18: 0, 0

19: 0, 0

20: 0, 0

21: 2, 2

22: 3, 3

23: 0, 0

24: 0, 0

(b)

25: -6

26: -10

27: 3

28: 5

29: -1

30:

31:

32: -4

33: 2

34:

35: 47

36: 30

37: 16

38:

39: -76

40: -36

41:

42: -5

43: -46

44:

45: -43

46: -24

47: -17