$x+y+z=2$ かつ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2$ のとき、$x^3+y^3+z^3$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x+y+z=2$ かつ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2$ のとき、$x^3+y^3+z^3$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x+y+z=2$ と $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2$ の情報から、$xy+yz+zx$ の値を求めます。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2$ の両辺に $xyz$ をかけると、

$$yz + zx + xy = 2xyz$$

となります。

次に、$x+y+z=2$ の両辺を2乗すると、

$$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx) = 4$$

これより、

$$x^2 + y^2 + z^2 = 4 - 2(xy+yz+zx)$$

公式

$$x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx))$$

を使います。

$x+y+z = 2$ より、

$$x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 2(x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx))$$

$$x^3+y^3+z^3 = 2(x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx)) + 3xyz$$

$x^2 + y^2 + z^2 = 4 - 2(xy+yz+zx)$ を代入すると、

$$x^3+y^3+z^3 = 2(4 - 2(xy+yz+zx) - (xy+yz+zx)) + 3xyz$$

$$x^3+y^3+z^3 = 8 - 6(xy+yz+zx) + 3xyz$$

$xy+yz+zx = 2xyz$ を代入すると、

$$x^3+y^3+z^3 = 8 - 6(2xyz) + 3xyz$$

$$x^3+y^3+z^3 = 8 - 12xyz + 3xyz$$

$$x^3+y^3+z^3 = 8 - 9xyz$$

ここで、$x=1$, $y=1$, $z=0$ とすると、$x+y+z=2$ と $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2$ が満たされないので、このようにはなりません。

仮に、$xyz=0$のとき、$x,y,z$のうち少なくとも一つは0なので、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2$は成り立ちません。

恒等式

$$(x+y+z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x+y+z)(xy+yz+zx) - 3xyz$$

より、

$$x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)^3 - 3(x+y+z)(xy+yz+zx) + 3xyz$$

これに、$x+y+z = 2$ と $xy+yz+zx = 2xyz$ を代入すると、

$$x^3 + y^3 + z^3 = 2^3 - 3(2)(2xyz) + 3xyz = 8 - 12xyz + 3xyz = 8 - 9xyz$$

また、$x^3 + y^3 + z^3 = 8 - 9xyz$より、求める値は、$xyz$に依存します。

例えば、

$x=1, y=2+\sqrt{2}, z=1-\sqrt{2}$とすると、$x+y+z=4$になります。

$(x+y+z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = 1 + 1 + 1 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{y}{z} + \frac{z}{y} + \frac{z}{x} + \frac{x}{z} = 4$

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-zx)$

$x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)$

より

$x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z) [(x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx)] + 3xyz$

$x+y+z=2$, $xy+yz+zx = 2xyz$ より

$x^3 + y^3 + z^3 = 2[4 - 3(2xyz)] + 3xyz = 8 - 12xyz + 3xyz = 8 - 9xyz$

3. 最終的な答え

8