$x+y+z = 2$ と $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2$ のとき、$\frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} + \frac{1}{z^3}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x+y+z = 2$ と $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2$ のとき、$\frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} + \frac{1}{z^3}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2$ を変形する。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{yz + zx + xy}{xyz} = 2$

よって、

$yz + zx + xy = 2xyz$

また、$x+y+z=2$ である。

両辺を３乗すると、

$(x+y+z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x) = 8$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = 2$ であることから、$\frac{xy+yz+zx}{xyz} = 2$ となるので、$xy+yz+zx = 2xyz$

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) = x\frac{1}{x}+x\frac{1}{y}+x\frac{1}{z}+y\frac{1}{x}+y\frac{1}{y}+y\frac{1}{z}+z\frac{1}{x}+z\frac{1}{y}+z\frac{1}{z} = 3+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y} = 4$

$\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y} = 1$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = 2$ より、$\frac{yz+zx+xy}{xyz} = 2$ から、 $xy+yz+zx = 2xyz$

$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = 4$

$x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)$

$\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3} = (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^3-3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})+3\frac{1}{xyz} = 2^3-3*2*\frac{x+y+z}{xyz}+3\frac{1}{xyz} = 8-6\frac{2}{xyz}+3\frac{1}{xyz} = 8-12\frac{1}{xyz}+3\frac{1}{xyz} = 8-9\frac{1}{xyz}$

$xy+yz+zx = 2xyz$ より

$\frac{xy+yz+zx}{xyz}=2$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^3 = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} + \frac{1}{z^3} + 3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}) = 8$

$\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=8$

3. 最終的な答え

8