$n$ を自然数とする。次の和を求めよ。 (1) $I_n = \sum_{k=1}^{n} 3^k$ (3) $K_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^{2k-1}}{3^{k+2}}$

1. 問題の内容

$n$ を自然数とする。次の和を求めよ。

(1) $I_n = \sum_{k=1}^{n} 3^k$

(3) $K_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^{2k-1}}{3^{k+2}}$

2. 解き方の手順

(1) $I_n$ は初項 3、公比 3 の等比数列の和である。等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ を用いる。

$I_n = \sum_{k=1}^{n} 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3}{2}(3^n - 1)$

(3) $K_n$ を計算する。

$K_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^{2k-1}}{3^{k+2}} = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^{2k} \cdot 2^{-1}}{3^k \cdot 3^2} = \sum_{k=0}^{n} \frac{(2^2)^k}{2 \cdot 3^k \cdot 9} = \frac{1}{18} \sum_{k=0}^{n} \frac{4^k}{3^k} = \frac{1}{18} \sum_{k=0}^{n} (\frac{4}{3})^k$

これは初項 1、公比 $\frac{4}{3}$ の等比数列の和である。等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ を用いる。

$K_n = \frac{1}{18} \cdot \frac{(\frac{4}{3})^{n+1} - 1}{\frac{4}{3} - 1} = \frac{1}{18} \cdot \frac{(\frac{4}{3})^{n+1} - 1}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{18} \cdot 3 \cdot ((\frac{4}{3})^{n+1} - 1) = \frac{1}{6} ((\frac{4}{3})^{n+1} - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $I_n = \frac{3}{2}(3^n - 1)$

(3) $K_n = \frac{1}{6} ((\frac{4}{3})^{n+1} - 1)$