三角形ABCの内部の点Pについて、$2\vec{AP} + 2\vec{BP} + 3\vec{CP} = \vec{0}$ が成り立つとする。 (1) このとき、$\vec{AP}$ を $\vec{AB}, \vec{AC}$ を用いて表す。 (2) また、直線CPと直線ABとの交点をQとして、$\vec{AQ} = k\vec{AB}$とするとき、kの値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの内部の点Pについて、$2\vec{AP} + 2\vec{BP} + 3\vec{CP} = \vec{0}$ が成り立つとする。

(1) このとき、$\vec{AP}$ を $\vec{AB}, \vec{AC}$ を用いて表す。

(2) また、直線CPと直線ABとの交点をQとして、$\vec{AQ} = k\vec{AB}$とするとき、kの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AP}$ を $\vec{AB}, \vec{AC}$ を用いて表す。

与えられた条件 $2\vec{AP} + 2\vec{BP} + 3\vec{CP} = \vec{0}$ を変形する。

$\vec{BP} = \vec{AP} - \vec{AB}$

$\vec{CP} = \vec{AP} - \vec{AC}$

を代入すると、

$2\vec{AP} + 2(\vec{AP} - \vec{AB}) + 3(\vec{AP} - \vec{AC}) = \vec{0}$

$2\vec{AP} + 2\vec{AP} - 2\vec{AB} + 3\vec{AP} - 3\vec{AC} = \vec{0}$

$7\vec{AP} = 2\vec{AB} + 3\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{2}{7}\vec{AB} + \frac{3}{7}\vec{AC}$

(2) kの値を求める。

点Qは直線CP上にあるので、ある実数 $s$ を用いて

$\vec{AQ} = (1-s)\vec{AC} + s\vec{AP}$

と表せる。

$\vec{AP} = \frac{2}{7}\vec{AB} + \frac{3}{7}\vec{AC}$ を代入すると、

$\vec{AQ} = (1-s)\vec{AC} + s(\frac{2}{7}\vec{AB} + \frac{3}{7}\vec{AC})$

$\vec{AQ} = (1-s)\vec{AC} + \frac{2s}{7}\vec{AB} + \frac{3s}{7}\vec{AC}$

$\vec{AQ} = \frac{2s}{7}\vec{AB} + (1-s + \frac{3s}{7})\vec{AC}$

$\vec{AQ} = \frac{2s}{7}\vec{AB} + (1 - \frac{4s}{7})\vec{AC}$

$\vec{AQ} = k\vec{AB}$ であるから、

$1 - \frac{4s}{7} = 0$

$\frac{4s}{7} = 1$

$s = \frac{7}{4}$

$k = \frac{2s}{7} = \frac{2}{7} \times \frac{7}{4} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AP} = \frac{2}{7}\vec{AB} + \frac{3}{7}\vec{AC}$

(2) $k = \frac{1}{2}$