全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 10, x \text{は整数}\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ と $B = \{2, 3, 8, 10\}$ について、次の集合を求めます。 (4) $A \cup \overline{B}$ (5) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (6) $\overline{A \cup B}$ (7) $A \cap B$ (8) $\overline{A \cup B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 10, x \text{は整数}\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ と $B = \{2, 3, 8, 10\}$ について、次の集合を求めます。

(4) $A \cup \overline{B}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(6) $\overline{A \cup B}$

(7) $A \cap B$

(8) $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

まず、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求めます。

$\overline{A}$ は $U$ から $A$ の要素を取り除いたものです。

$\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$

$\overline{B}$ は $U$ から $B$ の要素を取り除いたものです。

$\overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(4) $A \cup \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の和集合です。

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 7\} \cup \{1, 4, 5, 6, 7, 9\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の共通部分です。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 6, 8, 9, 10\} \cap \{1, 4, 5, 6, 7, 9\} = \{4, 6, 9\}$

(6) $\overline{A \cup B}$ は、まず、$A \cup B$ を求め、その補集合を求めます。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7\} \cup \{2, 3, 8, 10\} = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} - \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\} = \{4, 6, 9\}$

これはド・モルガンの法則より $\overline{A} \cap \overline{B}$ と等しくなるはずです。

(7) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の共通部分です。

$A \cap B = \{1, 2, 3, 5, 7\} \cap \{2, 3, 8, 10\} = \{2, 3\}$

(8) $\overline{A \cap B}$ は、まず、$A \cap B$ を求め、その補集合を求めます。

$A \cap B = \{2, 3\}$

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} - \{2, 3\} = \{1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

3. 最終的な答え

(4) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 6, 9\}$

(6) $\overline{A \cup B} = \{4, 6, 9\}$

(7) $A \cap B = \{2, 3\}$

(8) $\overline{A \cap B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$