$x + y + z = 10$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

$x + y + z = 10$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x, y, z$ は自然数なので、$x \geq 1$, $y \geq 1$, $z \geq 1$ です。

そこで、$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とおくと、$x', y', z' \geq 0$ となります。

このとき、$x = x' + 1$, $y = y' + 1$, $z = z' + 1$ なので、$x + y + z = 10$ は以下のように書き換えられます。

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 10$

$x' + y' + z' + 3 = 10$

$x' + y' + z' = 7$

$x', y', z'$ は 0 以上の整数なので、この式を満たす整数の組の個数を求める問題になります。

これは、7個の区別できない玉を3つの区別できる箱に入れる場合の数と考えることができます。

仕切りを使って考えると、7個の玉と2個の仕切りを並べる順列の数を数えれば良いことになります。

すなわち、全部で9個のものを並べる順列の中で、同じものを2つ含む順列の数なので、

$\frac{9!}{7!2!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

となります。

3. 最終的な答え

36