(1) 4種類の文字a, b, c, dから重複を許して7個取る組み合わせの総数を求めます。 (2) $(a+b+c)^6$の展開式における異なる項の数を求めます。

1. 問題の内容

(1) 4種類の文字a, b, c, dから重複を許して7個取る組み合わせの総数を求めます。

(2) $(a+b+c)^6$の展開式における異なる項の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) これは重複組み合わせの問題です。4種類のものから7個選ぶ重複組み合わせの総数は、

$_{4}H_{7}$ で表されます。重複組み合わせの公式を使うと、

$_{n}H_{r} = {}_{n+r-1}C_{r} = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$ となります。

この公式にn=4, r=7を代入すると、

$_{4}H_{7} = {}_{4+7-1}C_{7} = {}_{10}C_{7}$ となります。

${}_{10}C_{7} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(2) $(a+b+c)^6$の展開式における一般項は、定数kを用いて、$a^p b^q c^r$（ただし$p+q+r=6$, $p,q,r$は0以上の整数）の形です。

異なる項の数は、$p+q+r=6$を満たす0以上の整数の組$(p,q,r)$の数に等しくなります。

これは、3種類のものから重複を許して6個選ぶ重複組み合わせの問題と考えることができます。

したがって、求める項の数は$_{3}H_{6}$で表されます。

$_{3}H_{6} = {}_{3+6-1}C_{6} = {}_{8}C_{6}$

${}_{8}C_{6} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 4 \times 7 = 28$

3. 最終的な答え

(1) 120

(2) 28