全体集合 $U = \{x \mid 1 \le x \le 10, x \text{は整数}\}$ と、その部分集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ と $B = \{2, 3, 8, 10\}$ が与えられています。以下の集合を求める問題です。 (1) $A$ (2) $B$ (3) $A \cap B$ (4) $A \cup B$ (5) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (6) $\overline{A \cup B}$ (7) $\overline{A \cap B}$ (8) $\overline{A} \cup \overline{B}$

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x \mid 1 \le x \le 10, x \text{は整数}\}$ と、その部分集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ と $B = \{2, 3, 8, 10\}$ が与えられています。以下の集合を求める問題です。

(1) $A$

(2) $B$

(3) $A \cap B$

(4) $A \cup B$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(6) $\overline{A \cup B}$

(7) $\overline{A \cap B}$

(8) $\overline{A} \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ (Aの補集合): 全体集合 $U$ から $A$ の要素を取り除いた集合です。

$\overline{A} = U - A = \{4, 6, 8, 9, 10\}$

(2) $\overline{B}$ (Bの補集合): 全体集合 $U$ から $B$ の要素を取り除いた集合です。

$\overline{B} = U - B = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(3) $A \cap B$ (AとBの共通部分): $A$ と $B$ の両方に含まれる要素からなる集合です。

$A \cap B = \{2, 3\}$

(4) $A \cup B$ (AとBの和集合): $A$ または $B$ に含まれる要素からなる集合です。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (Aの補集合とBの補集合の共通部分): $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素からなる集合です。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 6, 9\}$

(6) $\overline{A \cup B}$ (AとBの和集合の補集合): 全体集合 $U$ から $A \cup B$ の要素を取り除いた集合です。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{4, 6, 9\}$

(7) $\overline{A \cap B}$ (AとBの共通部分の補集合): 全体集合 $U$ から $A \cap B$ の要素を取り除いた集合です。

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(8) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (Aの補集合とBの補集合の和集合): $\overline{A}$ または $\overline{B}$ に含まれる要素からなる集合です。

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(3) $A \cap B = \{2, 3\}$

(4) $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 6, 9\}$

(6) $\overline{A \cup B} = \{4, 6, 9\}$

(7) $\overline{A \cap B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(8) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$